文档介绍：第21讲数学应用题
从1993年开始,数学科高考逐步加强了数学应用和实践能力的考查
高考对数学应用和实践能力的考查要求是:能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题,包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题;能阅读、理解对问题进行陈述的材料;能够对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类,将实际问题抽象为数学问题,建立数学模型;应用相关的数学方法解决问题并加以验证,并能用数学语言正确地表述、说明。
解答数学应用题是分析问题和解决问题的能力的高层次表现,反映出考生的创新意识和实践能力。从2000年新课程的试卷,突出新增加的向量,概率,导数等知识的应用性。但是应用题的范围是很广泛的,除以概率为模型之外,建立函数,数列,三角,曲线等模型解决实际问题也应该成为复****的重点。要想掌握好高考试题中应用问题的求解,重点在于提高整理分析实际问题中的数据,抽象概括出数学模型的能力和数学中的综合推理演算的能力.
【例1】(2007年北京卷,理)
如图,有一块半椭圆形钢板,其半轴长为,短半轴长为,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底是半椭圆的短轴,上底的端点在椭圆上,记,梯形面积为.
(I)求面积以为自变量的函数式,并写出其定义域;
(II)求面积的最大值.
【分析及解】(I)依题意,以的中点为原点建立直角坐标系(如图),则点的横坐标为.
点的纵坐标满足方程,
解得
,
其定义域为.
(II)记,
,得.
因为当时,;当时,,
所以是的最大值.
因此,当时,也取得最大值,最大值为.
即梯形面积的最大值为.
【例2】(2007年福建卷,理)
某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交元()的管理费,预计当每件产品的售价为元()时,一年的销售量为万件.
(Ⅰ)求分公司一年的利润(万元)与每件产品的售价的函数关系式;
(Ⅱ)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润最大,并求出的最大值.
【分析及解】(Ⅰ)分公司一年的利润(万元)与售价的函数关系式为:
.
(Ⅱ)
.
令得或(不合题意,舍去).
,.
在两侧的值由正变负.
所以(1)当即时,
.
(2)当即时,
,
所以
答:若,则当每件售价为9元时,分公司一年的利润最大,最大值(万元);若,则当每件售价为元时,分公司一年的利润最大,最大值(万元).
【例3】(2006年福建卷,理)
统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量(升)关于行驶速度(千米/小时)的函数解析式可以表示为:
已知甲、乙两地相距100千米。
(I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(II)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?
【分析及解】(I)当时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,要耗油(升).
答:当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,。
(II)当速度为千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为升,
依题意得
令得
当时,是减函数;
当时,是增函数。
当时,取到极小值
因为在上只有一个极值,所以它是最小值。
答:当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,。
这是一个汽车行驶耗油量的应用题,是用导数求函数的极值问题.
【点评】本题已经给出了汽车在匀速行驶中每小时的耗油量(升)关于行驶速度(千米/小时)的函数解析式,因此,只要用导数求函数的最值就可以了.
【例4】(2005年,天津卷,理,文)
某人在一山坡P处观看
对面山项上的一座铁塔,如
图所示,塔高BC=80(米),塔
所在的山高OB=220(米),
OA=200(米),图中所示的山坡
可视为直线l且点P在直线l上,
与水平地面的夹角为, 试问此人距水平地面多高时,观看塔的视角∠BPC最大(不计此人的身高)
. 【分析及解】如图所示,建立平面直角坐标系,
则A(200,0),B(0,220),
C(0,300),
直线l的方程为即
设点P的坐标为(x,y),
则
由经过两点的直线的斜率公式
由直线PC到直线PB的角的公式得
要使tanBPC达到最大,只须达到最小,
由均值不等式
当且仅当时上式取得等号,
故当x=320时tanBPC最大,这时,点P的纵坐标y为
由此实际问题知,
所以tanBPC最大时,∠BPC最大.
故当此人距水平地面60米高时,观看铁塔的视角∠BPC最大.
【点评】这是一个解析几何与函数综合在一起的应用题,通过计算直线的斜率,一条直线与另一条