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等差、等比数列中,通项公式、前 n项和的公式,都可以看成 n的函数,数列问题也可以用函数方法解决。例设f(x)12x4xa,如果当x∈(-∞,1]时f(x)有意义,求实数a的取值范围。=lg3【分析】当x∈(-∞,1]时f(x)=lg12x4xa有意义的函数问题,转化为1+2x+4xa>03在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题。【解】 由题设可知,不等式 1+2x+4xa>0在x∈(-∞,1]上恒成立,即:(1)2x+(12 2)x+a>0在x∈(-∞,1]上恒成立。1)x,则t1又设g(t)=t2+t+a,其对称轴为1设t=(≥,t=-222∴t2+t+a=0在[1即g(11)213,+∞)上无实根,)=(++a>0,得a>-22224所以a的取值范围是a>-3。4【注】对于不等式恒成立,引入新的参数化简了不等式后,构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题,其中也联系到了方程无解, 体现了方程思想和函数思想。一般地,我们在解题中要抓住二次函数及图像、 二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系, 将问题进行相互转化。二、数形结合思想中学数学的基本知识分三类:一类是纯粹数的知识,如实数、代数式、方程(组) 、不等式(组)、函数等;一类是关于纯粹形的知识,如平面几何、立体几何等;一类是关于数形结合的知识,主要体现是解析几何。数形结合是一个数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系, 即以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质; 或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。恩格斯曾说过:“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。 ”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系, 既分析其代数意义, 又揭示其几何直观, 使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、 和谐地结合在一起, 充分利用这种结合, 寻找解题思路,使问题化难为易、化繁为简,从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾,宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过:数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休。数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化, 它可以使代数问题几何化, 几何问题代数化。 在运用数形结合思想分析和解决问题时, 要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义; 第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围。数学中的知识,有的本身就可以看作是数形的结合。如:锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的;任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。例若方程lg(-x2+3x-m)=lg(3-x)在x∈(0,3)内有唯一解,求实数m的取值范围。【分析】将对数方程进行等价变形,转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题,再利用二次函数的图像进行解决。3x0y【解】原方程变形为3xm3xx24y=1-m3x01即:2)21m(xO23x设曲线y1=(x-2)2,x∈(0,3)和直线y2=1-m,图像如图所示。由图可知:①当1-m=0时,有唯一解, m=1;②当1≤1-m<4时,有唯一解,即- 3<m≤0,∴m=1或-3<m≤0此题也可设曲线y1=-(x-2)2+1,x∈(0,3)和直线y2=m后画出图像求解。【注】 一般地,方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时,可以借助于函数的图像直观解决,简单明了。此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况, 还可用分离参数法来求(也注意结合图像分析只一个 x值)。三、分类与整合思想在解答某些数学问题时, 有时会遇到多种情况, 需要对各种情况加以分类, 并逐类求解,然后综合得解,这就是分类讨论法。 分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略, 它体现了化整为零、 积零为整的思想与归类整理的方法。 有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、 综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性,所以在高考试题中占有重要的位置。引起分类讨论的原因主要是以下几个方面:①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如 |a|的定义分 a>0、a=0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制,或者是分类给出的。如等比数列的前 n项和的公式,分q=1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。③解含有参数的题目时,必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式 ax>2时分a>0、a=0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。另外,某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等,都主要通过分类讨论,保证其完整性,使之具有确定性。进行分类讨论时, 我们要遵循的原则是: 分类的对象是确定的, 标准是统一的,不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重” 。解答分类讨论问题时,我们的基本方法和步骤是:首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准,正确进行合理分类,即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果;最后进行归纳小结,综合得出结论。例4. 设函数 f(x) =ax2-2x+2,对于满足 1<x<4的一切 x值都有f(x)>0,求实数 a的取值范围。【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题,需要先对开口方向讨论,再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论,最后综合得解。【解】当a>0时,f(x)=a(x-1)2+2-1aa111≤14∴a或a11()=≥0f1a220f()=2aa1≥4或af(4)=16a 8 2≥0∴a≥1或1即a>1<a<1或φ;22当a<0时,f(1)=a22≥0f(4)=16a,解得φ;82≥0当a=0时,f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6,∴不合题意由上而得,实数1。a的取值范围是a>2【注】本题分两级讨论,先对决定开口方向的二次项系数 a分a>0、a<0、a=0三种情况,再每种情况结合二次函数的图像, 在a>0时将对称轴与闭区间的关系分三种, 即在闭区间左边、右边、中间。四、化归与转化思想化归与转化即等价转化,是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考,等价转化思想无处不见,我们要不断培养和训练自觉的转化意识,将有利于强化解决数学问题中的应变能力,提高思维能力和技能、技巧。转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的,才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的,要对结论进行必要的修正(如无理方程化有理方程要求验根),它能给人带来思维的闪光点,找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求,实施等价转化时确保其等价性,保证逻辑上的正确。著名的数学家,《什么叫解题》的演讲时提出:“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程,就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时,没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换;它可以在宏观上进行等价转化,如在分析和解决实际问题的过程中,普通语言向数学语言的翻译;它可以在符号系统内部实施转换,即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等,都体现了等价转化思想,我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。可以说,等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。由于其多样性和灵活性,我们要合理地设计好转化的途径和方法,避免死搬硬套题型。在数学操作中实施等价转化时,我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则,即把我们遇到的问题,通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理;或者将较为繁琐、复杂的问题,变成比较简单的问题,比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式等;或者比较难以解决、比较抽象的问题,转化为比较直观的问题,以便准确把握问题的求解过程,比如数形结合法;或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作,转化过程省时省力,有如顺水推舟,经常渗透等价转化思想,可以提高解题的水平和能力。例设x、y∈R且3x2+2y2=6x,求x2+y2的范围。【分析】设k=x2+y2,再代入消去y,转化为关于x的方程有实数解时求参数k范围的问题。其中要注意隐含条件,即 x的范围。【解】由 6x-3x2=2y2≥0得0≤x≤2。设k=x2+y2,则y2=k-x2,代入已知等式得: x2-6x+2k=0 ,即k=-1x2+3x,其对称轴为 x=3。2由0≤x≤2得k∈[0,4]。所以x2+y2的范围是:0≤x2+y2≤4。【另解】数形结合法(转化为解析几何问题):由3x2+2y2=6x得(x-1)2y2=1,即表示如图所示椭圆,其一个顶点在坐标原点。+32x2+y2的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为x2+y2=k,代入椭圆中消y得x2-6x+2k=0。由判别式△= 36-8k=0得k=4,所以x2+y2的范围是:0≤x2+y2≤4。【再解】 三角换元法,对已知式和待求式都可以进行三角换元(转化为三角问题) :y2x1cos由3x2+2y2=6x得(x-1)2=1,设6,则+3ysin22x2+y2=1+2cosα+cos2α+3sin2α=1+3+2cosα-1cos2α15222=-cos2α+2cosα+∈[0,4]22所以x2+y2的范围是:0≤x2+y2≤4。【注】本题运用多种方法进行解答,实现了多种角度的转化,联系了多个知识点,有助于提高发散思维能力。 此题还可以利用均值换元法进行解答。 各种方法的运用, 分别将代数问题转化为了其它问题,属于问题转换题型。五、特殊与一般思想用特殊值(特殊图形、特殊位置 )代替题设普遍条件,得出特殊结论,对各个选项进行检验,从而作出正确判断的方法叫特例法。常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等。 当已知条件中含有某些不确定的量,但题目暗示答案可能是一个定值时,可以将变量取一些特殊数值、特殊位置、或者一种特殊情况来求出这个定值,这样,简化了推理、论证的过程。例已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2++a7x7,那么a1+a2++a7=。【解】令x=1,则有(-1)7=a0+a+a2++a7=-1;令x=0,则有a0=1。所1以a1+a2++a7=-1-1=-2。六、有限与无限思想1)把对无限的研究转化为对有限的研究,是解决无限问题的必经之路2)积累的解决无限问题的经验,将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向3)立体几何中求球的表面积与体积,采用分割的方法来解决,实际上是先进行有限次分割,再求和求极限,是典型的有限与无限数学思想的应用例设等差数列an的公差d是2,前n项的和为Sn,,则ana12(n1)2na11,Snna1n(n1)【解】设首项为22n2 n(a11)an2n2(2n11)2n23n24n(a11)(a11)2limlim2alim2nSnnnn(a11)nnn(a11)34(a11)(a11)2nn2lim()1n七、必然与或然的思想1)随机现象两个最基本的特征,一是结果的随机性,二是频率的稳定性2)偶然中找必然,再用必然规律解决偶然3)等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点例设有关于x的一元二次方程x22axb20.(Ⅰ)若a是从01,,2,3四个数中任取的一个数,b是从01,,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率.(Ⅱ)若a是从区间[0,3]任取的一个数, b是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根的概率.【解】设事件A为“方程a22axb20有实根”.当a0,b0时,方程x22axb20有实根的充要条件为a≥b.(Ⅰ)基本事件共12个:(0,0),(01),,(0,2),(10),,(11),,(12),,(2,0),,(21),(2,2),(3,,0),(31),(3,2).其中第一个数表示a的取值,,(A)412(Ⅱ)试验的全部结束所构成的区域为(a,b)|0≤a≤30,≤b≤,,,.(ab)|0≤a≤30≤b≤2a≥by所以所求的概率为附图: x