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,〔3-8〕当控制阀突然开大一些,液位会逐渐上升,如果流出侧阀门开度不变,那么随着液位的升高而a〕b〕图3-4单容水箱过程及其阶跃响应曲线第3章被控过程的数学模型a〕单容水箱液位对象示意图b〕单容自衡过程的阶跃相应曲线流出量逐渐增大,这时根据动态物料平衡关系有:〔3-9〕或〔3-10〕由式〔3-8〕和〔3-10〕可得:〔3-11〕上述各式中,、、——分别表示偏离某一平衡状态、、的增量;A——水箱的横截面积。由流体力学可知,流体在紊流情况下,液位h与流出量之间为非线性关系。但为简化起见,经线性化处理,可近似认为和成正比,而与流出阀门的阻力成反比,即:或〔3-12〕式中,为流出阀门的阻力,称为液阻。为了求取单容过程的数学模型,需要消去中间变量。在这里,我们介绍两种消去中间变量的方法,代数代换法和方框图法。代数代换法:将式〔3-12〕代入〔3-11〕并化简,即可得到微分方程形式的数学模型:〔3-13〕对〔3-13〕式两端进行拉氏变换,经整理即可得到传递函数形式的数学模型:〔3-14〕式中,、——水箱液位变化和进水流量变化的拉氏函数;——被控过程的时间常数;——被控过程的放大系数。由此可见,单容自衡过程的数学模型为一个一阶惯性环节。由〔3-14〕可得单容过程的阶跃响应如式〔3-15〕所示,图3-4b为单容水箱被控过程的阶跃响应曲线。〔3-15〕画方框图法:将式〔3-11〕、〔3-12〕拉氏变换后,画出图3-5所示方框图。然后再利用画出的方框图求取被控过程传递函数形式的数学模型。被控过程都具有一定储存物料或能量的能力,其储存能力的大小,称为容量,用容量系数来表示。其物理意义是:引起单位被控量变化时,被控过程储存量的变化量。上述单容水箱的容量系数为。从式〔3-14〕可知,液阻不但影响过程的时间常数,而且影响过程的放大系数,而容量系数第3章被控过程的数学模型A仅影响过程的时间常数。图3-,过程具有纯滞后是经常碰到的问题。当被控量的检测点与产生扰动的地点之间有一段物料传输距离时,就会出现纯滞后。如图3-6为典型的具有纯滞后的皮带运输机过程。在该过程中,如果输送皮带秤的扰动发生在电动控制阀,与物料称重传感器相距为,皮带必须经过这一段传输距离后,变化后的重量才会被传感器检测出来,显然流经距离的时间完全是传输滞后造成的,故称其为传输滞后或纯滞后,以表示。对于前述单容水箱,当进水阀门在距离水箱l的地方,如图3-7所示,那么阀门开度变化产生扰动后,液体要经过流经l距离的时间后才流入水箱,使水位发生变化而被检测出来。显然图3-7所示的水箱为具有纯滞后的自衡过程,假设该过程具有的纯滞后为,那么具有纯滞后的单容水箱的微分方程和传递函数形式的数学模型分别可以表示式〔3-16〕和〔3-17〕所示。〔3-16〕〔3-17〕式〔3-16〕和〔3-17〕中,、和分别为被控过程的时间常数、被控过程的放大系数和被控过程的纯滞后时间。第3章被控过程的数学模型图3-,被控过程往往由多个容积和阻力构成,这种过程称为多容过程。下面以双容水箱为例,介绍建立多容过程数学模型的方法。图3-8所示,为两个单容水箱串连工作的双容过程,假设其输入量为,输出量为液位,根据物料平衡关系,可以列出以下微分方程组:〔3-18〕消去中间变量后可得:〔3-19〕第3章被控过程的数学模型式中、——两只水箱的容量系数;——第一容积的时间常数,;——第二容积的时间常数,;——双容过程的放大系数,。第3章被控过程的数学模型将〔3-19〕式两端进行拉氏变换,可得双容过程传递函数形式的数学模型为:〔3-20〕第3章被控过程的数学模型a〕b〕图3-8双容水箱过程及其阶跃响应曲线a〕双容水箱过程示意图b〕双容水箱过程阶跃响应曲线由此可见,双容自衡过程的数学模型为二阶惯性环节,其S状阶跃响应曲线如图3-8b所示。由曲线可以看出,双容过程受到扰动后,其被控量的变化速率并非一开始就最大,而要经过一段时间以后,变化速率才到达最大,这段时间是由于被控过程的两个容积之间均存在着阻力而造成的,称其为容量滞后,用表示。可用作图法求得,即通过多容被控过程的阶跃响应曲线拐点作切线,与时间轴相交于A点,与稳态值交于C点,C点在时间轴上的投影为B,那么即为过程的时间常数,OA为过程的容量滞后时间。对于具有纯滞后的多容过程,其传递函数形式的数学模型一般表达式为:〔3-21〕在过程控制中,有些被控过程可以认为,那么多容过程的数学模型可以表示为:〔3-22〕-4a所示水箱的出口阀门换成定量泵,如图3-9所示。这样,其流出量将与液位第3章被控过程的数学模型的变化无关。当流入量发生阶跃变化时,液位即发生变化,但由于流出量是不变的,所以水箱液位或者等速上升直至液体溢出,或者等速下降直至液体被抽干,其阶跃响应曲线如图3-9所示。图3-9所示过程的微分方程为:〔3-23〕式中,为水箱的容量系数。过程传递函数形式的数学模型为:〔3-24〕式中,为过程的积分时间常数,。当过程具有纯滞后时,其传递函数为:〔3-25〕图3-,假设图3-8a中第二个水箱的出口阀门变成定量水泵,如图3-10所示,那么双容自衡过程就成为了双容无自衡过程,假设其输入量为,输出量为液位,那么该过程的微分方程组为:〔3-26〕消去式〔3-26〕的中间变量,得到微分方程形式的数学模型为:〔3-27〕第3章被控过程的数学模型式中、——两只水箱的容量系数;——第一只水箱的时间常数,;——双容过程的积分时间常数,。第3章被控过程的数学模型对〔3-27〕式进行拉氏变换,可得上述双容无自衡过程的传递函数为:〔3-28〕第3章被控过程的数学模型