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os表示出来,然7后判断其每一项都为无理数,】1)cos3xcos2xxcos2xcosxsin2xsinx2cos2x1cosx2sin2xcosx2cos3xcosx21cos2xcosx34cosx3cosx所以原式得证.(2)n为奇数时,232n3时,cos3xfcosx2cosxacosxacosxa,其中a0,31233成立n2k1时,cos2k1xfcosx2k1页共15:..2k22k12k22k32cosxacosxacosxacosxa,其中a0,122k22k12k1成立n2k1时,cos2k1xfcosx2k12k2k12k2k12cosxacosxacosxacosxa,其中a0,122k2k12k1成立,则当n2k3时,cos2k3xcos2k1x2xcos2k1xcos2xsin2k1sin2xcos2k1xcos2xcos2k3x所以得到cos2k3x2cos2k1xcos2xcos2k1x2kcos2k1xacos2kxacos2k1xacosxa2cos2x1122k2k12k22k12k22k32cosxacosxacosxacosxa122k22k12k22k32k22k12k12cosx4acosx4a2cosx2aacosx122k2k12k1因为a,,a均为整数,所以4a,4a2,,2aa也均为整数,1n122k2k1故原式成立;n为偶数时,2212n2时,cos2xfcosx2cosxacosxa,其中,212a121n2k2时,cos2k2xfcosx2k22k32k22k32k42cosxacosxacosxacosxa,122k32k22k2a1211其中2k2,成立,n2k时,cos2kxfcosx2k2k12k2k12k22cosxacosxacosxacosxa122k12k2kka11k1,成立,其中2k2则当n2k2时,cos2k2xcos2kx2xcos2kxcos2xsin2kxsin2x页共15:..cos2k1cos2x所以得到页共15:..cos2k3x2cos2kxcos2xcos2k2x2k12k2k12k2222cosxacosxacosxacosxa2cosx1122k12k2k32k22k32k42cosxacosxacosxacosxa122k32k222k1cos2k2x4acos2k1x4a22k1cos2kx2aacosx2aa122k12k32k2k2其中2aa1,2k2k22k1因为a,,a均为整数,1n4a,4a2,,2aa所以也均为整数,122k12k3故原式成立;综上可得:对任何正整数n,存在多项式函数fx,使得cosnxfcosx对所nnn1nn1有实数x均成立,其中fx2n1xnaxn1axa,a,,a均为整n1n1n1nn当n为奇数时,a0,n当n为偶数时,;an123)由(2)可得cos1m6,mN*mm1mm1acosacosfcos2cosacos7m17mm11m6,mN2m1,a,aa均为有理数,其中12mmm1coscosm,cos因为为无理数,所以cos7均为无理数,777m1mm12m1cosmacosm1acosa为无理故1m1m数,所以cos1m6,mN*【点睛】本题考查利三角函数的二倍角的余弦公式,积化和差公式,数学归纳法证明,