1 / 16
文档名称:

2024数竞平面几何(四点共圆)讲义教师版.docx

格式:docx   大小:5,490KB   页数:16页
下载后只包含 1 个 DOCX 格式的文档,没有任何的图纸或源代码,查看文件列表

如果您已付费下载过本站文档,您可以点这里二次下载

分享

预览

2024数竞平面几何(四点共圆)讲义教师版.docx

上传人:朱老师 2024/5/11 文件大小:5.36 MB

下载得到文件列表

2024数竞平面几何(四点共圆)讲义教师版.docx

相关文档

文档介绍

文档介绍:该【2024数竞平面几何(四点共圆)讲义教师版 】是由【朱老师】上传分享,文档一共【16】页,该文档可以免费在线阅读,需要了解更多关于【2024数竞平面几何(四点共圆)讲义教师版 】的内容,可以使用淘豆网的站内搜索功能,选择自己适合的文档,以下文字是截取该文章内的部分文字,如需要获得完整电子版,请下载此文档到您的设备,方便您编辑和打印。高中数学奥林匹克-2024年7月暑假培训班第1页平面几何〔四点共圆〕冲刺讲义________班_______号姓名________________一、知识准备以下简单介绍讲义可能涉及的一些简单的知识::的垂心,重心,,且有关系::三角形的三条高的垂足、三边的中点,以及垂心与顶点的三条连接线段的中点,共九点共圆。此圆称为三角形的九点圆,或称欧拉圆.①的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点②:的内心为,而边外的旁心分别为;分别是三条内角平分线,交三角形外接圆于,交于,那么:①三角形过同一顶点的内、外角平分线互相垂直;②,;③〔角平分线定理〕;④〔“鸡爪〞定理〕.二、,过作圆的切线交于,连接并延长分别交、于、,求证:.高中数学奥林匹克-2024年7月暑假培训班第2页证明:过作的平行线分别交、于、,,连接、、、.,四点共圆.,而由,有.,四点共圆.,而,,.而是的中点,是的中点,..,∥,,分别是,的内心,是直线上的一点,,:.高中数学奥林匹克-2024年7月暑假培训班第3页证明:,故共圆,那么,因此,而,所以,,由此,.,,内心为,内切圆在,边上的切点分别为,,设是关于点的对称点,:-2024年7月暑假培训班第4页证明:设直线交的外接圆于点,易知是的中点,记的中点为,,由于那么半周长,于是,又所以∽,且相似比为,熟知:。又∽,所以,即是的中点进而,、B为圆Γ上两点,X为Γ在A和B处切线的交点,在圆Γ上选取两点C、D使得C、D、X依次位于同一直线上,且CA⊥BD,再设高中数学奥林匹克-2024年7月暑假培训班第5页F、G分别为CA和BD、CD和AB的交点,:X、F、G、:设O为圆心,AB∩XO=M.∵△XOA∽△XAM,∴OX·XM=XA2=XC·XD.∴O、M、C、D四点共圆.∴∠XMO=∠OCD=∠ODC=∠OMC.∴∠CMG=∠∥DE,那么MD=ME..在GX上取点X′,使∠GFD=∠DFX′,在X′F上取W使CF∥·X′D=X′C·=,故X=X′.∴∠GFD=∠∵=<1和∠XPB=∠CDF<1.∴′为直线BF与△GFX外接圆的交点,那么∠H′XG=∠H′FG=∠H′FX=∠H′GX.∴H′G=H′X,∴H′=H.∴X、F、G、H四点共圆,:上述证法比较麻烦,此题实质如下:易知为调和点列,又,可得为的平分线,设外接圆交于点,由“鸡爪〞定理知,从而在的中垂线上,.△ABC中,E、F分别为AB、AC中点,CM、BN为高,EF交MN于P,O、:AP⊥-2024年7月暑假培训班第6页证明:由∠BMC=∠BNC=90°知B、C、N、M四点共圆.∴AM·AB=AN·=AB,AF=AC,∴AM·AE=AN·AF,即E、F、N、∠AMH=∠ANH=∠AEO=∠AFO=90°知AH、AO分别为△AMN、△′与AO中点O′分别为△AMN与△AEF的外心,且易知O′H′∥OH.∴只需证AP⊥O′H′,只需证A、O为△AMN、△,而由E、F、N、M共圆知PM·PN=PE·,△ABC内接于圆O,过A作切线PD,D在射线BC上,P在射线DA上,过P作圆O的割线PU,U在BD上,PU交圆O于Q、T且交AB、AC于R、:假设QR=ST,那么PQ=:过O作OK⊥PU=K,OF⊥BU=F,连结AK延长交⊙O于另一点E,过C作CH∥PU交AE于G,交AB于H,连GF、OP、OU、OA、=FC,QK=KT,且QR=-2024年7月暑假培训班第7页∴RK=KS即K是RS的中点,且CH∥PU.∴==?==1?HG=∥BH.∴∠FGE=∠BAE=∠BCE?F、G、C、E共圆.∴∠EFC=∠EGC=∠AGH=∠UKG.∴∠EFO+∠OKE=∠OFC+∠CFE+∠OKE=90°+(∠UKG+∠OKE)=90°+90°=180°.∴K、O、F、E四点共圆…①又∵∠OKU+∠OFU=2×90°=180°,∴K、O、F、U四点共圆…②结合①②知K、O、F、E、U五点共圆,∴∠KUO=∠∵PA为⊙O切线?OA⊥PA,且OK⊥PU?∠KEO=∠KAO.∴∠KPO=∠KUO?OP=∵OK⊥PU,∴PK==TU,∴PQ=UT,、AC为⊙O切线,ADE为一条割线,M为DE中点,P为一动点,满足M、O、P三点共线,⊙P为以P点为圆心、:C点在△BMP外接圆与⊙-2024年7月暑假培训班第8页证明:作PR⊥AC,其延长线交BC延长线于S.∵∠OMA=∠OBA=∠OCA=90°,∴A、C、O、M、B五点共圆.∴∠BMP=∠BMA+90°=∠BCA+90°=180°-∠RSC.∴B、M、P、S四点共圆.∴C对△BMP外接圆的幂为-CB·CS=-2CA·⊙P的幂为CP2-PD2=CP2-(AP2-AD·AE)=CP2-AP2+AC2=CR2+RP2-PR2-AR2+AC2=CR2-(CR+CA)2+CA2=-2RC·CA.∴C点对⊙P的幂等于C点到△BMP外接圆的幂.∴C点在上述两圆根轴上,△ABC的垂心,D、E、F为△ABC的外接圆上三点,使AD∥BE∥CF,S、T、U分别为D、E、F关于边BC、CA、:S、T、U、:先证引理:ABC外接圆⊙O与它的九点圆⊙V关于△ABC的垂心H位似,-2024年7月暑假培训班第9页引理的证明:设AH、BH、CH分别交边BC、CA、AB于O、E、F,交⊙O于D′、E′、F′.易知HD=HD′,HE=HE′,HF=HF′.∴△D′E′F′与△DEF关于H位似,位似比为.∴△D′E′F′外接圆与△DEF外接圆关于H位似,即⊙O与⊙V关于H位似,:设BC、CA、AB中点分别为X、Y、Z,过D作DP∥BC,交⊙O于P,⊥BC,设PS交BC于X′,那么由SD关于BC对称知SX′=X′D.∴X′为BC中点,即X与X′重合,、T分别关于Z、Y对称.∴、X、Y、W四点共圆.∴U、T、H、S四点共圆,△ABC,过A作BC的垂线,垂足为D,记△ABC的垂心为H,在△ABC的外接圆上任取一动点P,延长PH交△:Q点轨迹为△,取AH、BH、PH的中点M、N、K,延长AD交△=DG,高中数学奥林匹克-2024年7月暑假培训班第10页连接KN、MN、KD、PB、∠NKD=∠BPG,∠NMD=∠BAG.∴K、N、M、△APD的外接圆上,∴PH·HQ=AH·HD,即2KH·HQ=2MH·HD.∴KH·HQ=MH·、D、Q、M、△DMN外接圆为九点圆,,在如上所述九点圆上任取一点Q′,设Q′H延长线交△ABC外接圆于P′,取P′H中点R,·HQ′=2MH·HD,即P′H·HQ′=AH·′在△AP′△ABC中,D是BC边上的一点,设O1、O2分别是△ABD、△ACD的外心,O′是经过A、O1、:O′D⊥BC?AD恰好经过△:连AO1、BO1、AO2、CO2,作AB、AC垂直平分线交于点O.∵∠AO2C=2∠ADB=∠AO1B,AO1=BO1,AO2=CO2,∴△AO1B∽△AO2C.∴△AO1O2∽△ABC.∴∠AO1O=180°-∠AO1B=180°-∠AO2C=180°-∠⊙O′上,O是△ABC的外心,故△AO′O∽△∠ADB=∠1,∠O1AB=∠O′AO=∠O′OA.∴O′D⊥BC?∠BAO1=∠ADO′?∠ADO′=∠O′DA?A、O′、O、D共圆?∠AO′O=180°-∠ADO=∠ADB+∠ODC?∠ADB=∠ODC(∵∠AO′O=2∠ADB)