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B. C. D. 二、填空题:此题共4小题,每题5分,共20分。13.〔5分〕〔2024?新课标Ⅰ〕假设x,y满足约束条件,那么z=3x+.〔5分〕〔2024?新课标Ⅰ〕记Sn为数列{an}=2an+1,那么S6= .15.〔5分〕〔2024?新课标Ⅰ〕从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,那么不同的选法共有种.〔用数字填写答案〕16.〔5分〕〔2024?新课标Ⅰ〕函数f〔x〕=2sinx+sin2x,那么f〔x〕的最小值是. 三、解答题:共70分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。〔一〕必考题:共60分。17.〔12分〕〔2024?新课标Ⅰ〕在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.〔1〕求cos∠ADB;第3页〔共19页〕〔2〕假设DC=2,.〔12分〕〔2024?新课标Ⅰ〕如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.〔1〕证明:平面PEF⊥平面ABFD;〔2〕.〔12分〕〔2024?新课标Ⅰ〕设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为〔2,0〕.〔1〕当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;〔2〕设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠.〔12分〕〔2024?新课标Ⅰ〕某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,,先从这箱产品中任取20件作检验,〔0<p<1〕,且各件产品是否为不合格品相互独立.〔1〕记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f〔p〕,求f〔p〕的最大值点p0.〔2〕现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以〔1〕,假设有不合格品进入用户手中,那么工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.〔i〕假设不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;〔ⅱ〕以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?21.〔12分〕〔2024?新课标Ⅰ〕函数f〔x〕=﹣x+alnx.〔1〕讨论f〔x〕的单调性;〔2〕假设f〔x〕存在两个极值点x1,x2,证明:<a﹣2. 〔二〕选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,那么按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程]〔10分〕22.〔10分〕〔2024?新课标Ⅰ〕在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0.〔1〕求C2的直角坐标方程;〔2〕假设C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程. [选修4-5:不等式选讲]〔10分〕23.〔2024?新课标Ⅰ〕f〔x〕=|x+1|﹣|ax﹣1|.〔1〕当a=1时,求不等式f〔x〕>1的解集;第4页〔共19页〕〔2〕假设x∈〔0,1〕时不等式f〔x〕>x成立,求a的取值范围. 第5页〔共19页〕2024年全国统一高考数学试卷〔理科〕〔新课标Ⅰ〕参考答案与试题解析 一、选择题:此题共12小题,每题5分,共60分。在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的。;;;;;;;;;;;; 二、填空题:此题共4小题,每题5分,共20分。;14.﹣63;;16.;一、选择题:此题共12小题,每题5分,共60分。在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的。1.〔5分〕〔2024?新课标Ⅰ〕设z=+2i,那么|z|=〔〕 B. D.【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后,然后求解复数的摸.【解答】解:z=+2i=+2i=﹣i+2i=i,那么|z|=:C. 2.〔5分〕〔2024?新课标Ⅰ〕集合A={x|x2﹣x﹣2>0},那么?RA=〔〕A.{x|﹣1<x<2} B.{x|﹣1≤x≤2} C.{x|x<﹣1}∪{x|x>2} D.{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}【分析】通过求解不等式,得到集合A,然后求解补集即可.【解答】解:集合A={x|x2﹣x﹣2>0},可得A={x|x<﹣1或x>2},那么:?RA={x|﹣1≤x≤2}.应选:B. 3.〔5分〕〔2024?新课标Ⅰ〕某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:第6页〔共19页〕那么下面结论中不正确的选项是〔〕,,,,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【分析】设建设前经济收入为a,,经济收入情况,利用数据推出结果.【解答】解:设建设前经济收入为a,,种植收入37×2a﹣60%a=14%a>0,故建设后,种植收入增加,,建设后,其他收入为5%×2a=10%a,建设前,其他收入为4%a,故10%a÷4%a=>2,,建设后,养殖收入为30%×2a=60%a,建设前,养殖收入为30%a,故60%a÷30%a=2,,建设后,养殖收入与第三产业收入总和为〔30%+28%〕×2a=58%×2a,经济收入为2a,故〔58%×2a〕÷2a=58%>50%,,应选:A. 4.〔5分〕〔2024?新课标Ⅰ〕记Sn为等差数列{an}=S2+S4,a1=2,那么a5=〔〕A.﹣12 B.﹣10 【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程,能求出a5的值.【解答】解:∵Sn为等差数列{an}的前n项和,3S3=S2+S4,a1=2,∴=a1+a1+d+4a1+d,把a1=2,代入得d=﹣3∴a5=2+4×〔﹣3〕=﹣:B. 5.〔5分〕〔2024?新课标Ⅰ〕设函数f〔x〕=x3+〔a﹣1〕x2+〔x〕为奇函数,那么曲线y=f〔x〕在点〔0,0〕处的切线方程为〔〕=﹣2x =﹣x =2x =x【分析】利用函数的奇偶性求出a,求出函数的导数,〔共19页〕【解答】解:函数f〔x〕=x3+〔a﹣1〕x2+ax,假设f〔x〕为奇函数,可得a=1,所以函数f〔x〕=x3+x,可得f′〔x〕=3x2+1,曲线y=f〔x〕在点〔0,0〕处的切线的斜率为:1,那么曲线y=f〔x〕在点〔0,0〕处的切线方程为:y=:D. 6.〔5分〕〔2024?新课标Ⅰ〕在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,那么=〔〕A.﹣ B.﹣ C.+ D.+【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示,计算可得所求向量.【解答】解:在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,=﹣=﹣=﹣×〔+〕=﹣,应选:A. 7.〔5分〕〔2024?新课标Ⅰ〕某圆柱的高为2,底面周长为16,,圆柱外表上的点N在左视图上的对应点为B,那么在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为〔〕 【分析】判断三视图对应的几何体的形状,利用侧面展开图,转化求解即可.【解答】解:由题意可知几何体是圆柱,底面周长16,高为:2,直观图以及侧面展开图如图:圆柱外表上的点N在左视图上的对应点为B,那么在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度:=:B. 第8页〔共19页〕8.〔5分〕〔2024?新课标Ⅰ〕设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点〔﹣2,0〕且斜率为的直线与C交于M,N两点,那么?=〔〕 【分析】求出抛物线的焦点坐标,直线方程,求出M、N的坐标,然后求解向量的数量积即可.【解答】解:抛物线C:y2=4x的焦点为F〔1,0〕,过点〔﹣2,0〕且斜率为的直线为:3y=2x+4,联立直线与抛物线C:y2=4x,消去x可得:y2﹣6y+8=0,解得y1=2,y2=4,不妨M〔1,2〕,N〔4,4〕,,.那么?=〔0,2〕?〔3,4〕=:D. 9.〔5分〕〔2024?新课标Ⅰ〕函数f〔x〕=,g〔x〕=f〔x〕+x+〔x〕存在2个零点,那么a的取值范围是〔〕A.[﹣1,0〕 B.[0,+∞〕 C.[﹣1,+∞〕 D.[1,+∞〕【分析】由g〔x〕=0得f〔x〕=﹣x﹣a,分别作出两个函数的图象,根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可.【解答】解:由g〔x〕=0得f〔x〕=﹣x﹣a,作出函数f〔x〕和y=﹣x﹣a的图象如图:当直线y=﹣x﹣a的截距﹣a≤1,即a≥﹣1时,两个函数的图象都有2个交点,即函数g〔x〕存在2个零点,故实数a的取值范围是[﹣1,+∞〕,应选:C. 10.〔5分〕〔2024?新课标Ⅰ〕,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为I,黑色局部记为Ⅱ,其余局部记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,那么〔〕第10页〔共19页〕=p2 =p3 =p3 =p2+p3【分析】如图:设BC=2r1,AB=2r2,AC=2r3,分别求出Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ所对应的面积,即可得到答案.【解答】解:如图:设BC=2r1,AB=2r2,AC=2r3,∴r12=r22+r32,∴SⅠ=×4r2r3=2r2r3,SⅢ=×πr12﹣2r2r3,SⅡ=×πr32+×πr22﹣SⅢ=×πr32+×πr22﹣×πr12+2r2r3=2r2r3,∴SⅠ=SⅡ,∴P1=P2,应选:A. 11.〔5分〕〔2024?新课标Ⅰ〕双曲线C:﹣y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,△OMN为直角三角形,那么|MN|=〔〕A. 【分析】求出双曲线的渐近线方程,求出直线方程,求出MN的坐标,然后求解|MN|.【解答】解:双曲线C:﹣y2=1的渐近线方程为:y=,渐近线的夹角为:60°,不妨设过F〔2,0〕的直线为:y=,那么:解得M〔,〕,解得:N〔〕,那么|MN|==:B. 12.〔5分〕〔2024?新课标Ⅰ〕正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,那么α截此正方体所得截面面积的最大值为〔〕A. B. C. D.【分析】利用正方体棱的关系,判断平面α所成的角都相等的位置,〔共19页〕【解答】解:正方体的所有棱中,实际上是3组平行的棱,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,如图:所示的正六边形平行的平面,并且正六边形时,α截此正方体所得截面面积的最大,此时正六边形的边长,α截此正方体所得截面最大值为:6×=.应选:A. 二、填空题:此题共4小题,每题5分,共20分。13.〔5分〕〔2024?新课标Ⅰ〕假设x,y满足约束条件,那么z=3x+2y的最大值为 6 .【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义进行求解即可.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:由z=3x+2y得y=﹣x+z,平移直线y=﹣x+z,由图象知当直线y=﹣x+z经过点A〔2,0〕时,直线的截距最大,此时z最大,最大值为z=3×2=6,故答案为:6 14.〔5分〕〔2024?新课标Ⅰ〕记Sn为数列{an}=2an+1,那么S6= ﹣63 .