文档介绍：该【微积分知识点总结(期末考研笔记) 】是由【青山代下】上传分享，文档一共【10】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【微积分知识点总结(期末考研笔记) 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..微积分知识点总结(期末考研笔记)一、第一章:极限与连续第一节:?未知变量x通过某种固定的对应关系确定唯一变量y,?内层变量导出中间函数的值域,中间函数的值域满足外层函数的定义域,则外层变量是内层变量的复合函数。?能“反”的函数,正函数能由x确定唯一的y与之对应,反函数则要求由y能确定唯一的x与之对应!?幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,:高斯函数,符号函数,狄利克雷函数第二节:?●数列极限定义(ε--N),函数极限定义(ε--δ)、(ε--X):任意小的正数,可以是是函数值与极限值之差;也可以是数列项与极限值之差。largeδ:是邻域半径。?●唯一性极限存在必唯一。从左从右逼近相同值。●保号性极限两侧正负相同●有界性数列极限收敛,必有界,反之不成立;连续函数闭区间有界。●列与子列同极限数列有极限,子列也存在相同极限;反之不成立。●极限运算性质1、满足四则运算。2、满足复合函数嵌套极限。3、极限存在则左右极限相等。●极限存在性质迫(夹)敛(逼)定理。●两个重要极限x o0时, rac{sinx}{x}=1;(1+x)^{1/x}的1/x次方极限为e●几个特殊关系式●时,sinx<x<tanx●x>0时, rac{x}{(x+1)}<ln(1+x)<:..●什么是无穷小1、定义:自变量趋向某个边界时,f(x) o02、无穷小是函数变化极限值,而非确定具体值,即要多小,有多小,但不是0!3、高阶、同阶、等价无穷小●常用的等价无穷小第三节:、该点有定义,且该点极限值等于函数值,则该处连续2、闭区间连续,左边界函数值等于右极限,区间内各点连续,:可去间断点,跳跃间断点。(字面意思理解)第二类间断点:无穷间断点、振荡间断点。该点左右极限至少一个不存在。:闭区间连续的定义,常用于辅助零点定理和介值定理应用解题有界定理:在最值定理下的证明零点定理:零点在开区间,要求证明开区间内命题时,优先考虑。介值定理:介值就是位于[m,M]间的值。即闭区间上连续时存在多个函数值相加,优先考虑。二、第二章:导数与微分第一节::割线极限,增量方向对应该点可导的充分必要条件:左右导数相同,若不连续则直接不可导。几何意义:函数均匀变化,:基本初等函数(5种)、初等函数(四则+复合)基本初等函数:幂函数x^n、指数函数a^x、对数函数、三角函数、反三角函数对基本函数求导:或 rianglex o0两种方式初等函数求导遵循复合函数求导法则第二节:(函)\y=arcsinx求当限定时,原函数可导且导数不等于零,存在反函数(不能更换反函数变量名),则反函数可导且 rac{1}{f'(x)}。实际应用时,采用函数与反函数互逆表示,注意定义域对应,求导最终变量名对应!:..由内而外,层层求导第三节:(x):称为零阶导数:称为f(x):(x,y)=0,:=f'(x)dx=df(x)近似计算:,等价无穷小部分等式由此推导而来。=f'(x)dx=f'(u)du三、第三章:一元函数微分学第一节::●罗尔定理:连续函数闭区间导数零点存在定理且可导,则有存在●拉格朗日中值定理:连续函数闭区间端点导数存在定理且可导,有f(a)=f(b),则存在●柯西中值定理:双函数拉格朗日中值定理C[a,b]且可导,有g'(x)eq0,则存在罗尔包含于拉格朗日,拉格朗日包含于柯西。●泰勒中值定理:拉格朗日余项(不考虑证明)●罗尔定理的证明和应用●证明连续函数闭区间性质:最值存在。连续函数开区间内最值等效极值极值:某一点取心领域内的函数值都大于或小于该点函数值(图像定义)判断极值:必要性:在该点可导且导数为零,则该点为极值点。充分性:图像上该点凹凸形●应用:..三大条件:闭区间连续,开区间可导,端点值相等实际题目中需要通过闭区间性质定理构造“三大条件”,难点在构造“端点值相等”●拉格朗日中值定理●证明原函数、端点直线函数,在端点处函数值相等,因此作差构造新函数后应用罗尔定理就可以得到拉格朗日等式●应用特殊情况下端点直线相等时L(拉格朗日R(罗尔)。等价:f(b)-、函数区间内出现三个点找关系,一般两次拉格朗日定理。形如拉格朗日等式的一般构造函数采用拉格朗日定理●柯西中值定理●证明由拉格朗日辅助函数、柯西特殊情况下得到拉格朗日定理,构造柯西辅助函数,再由罗尔定理证得。第二节:洛必达法则等价无穷小取代时精确度不够(阶数差距较大时),导致极限错误。因此采用洛必达补充求解1. rac{0}{0}型f(x),g(x)在极限点去心领域内连续且可导,极限都为0,且分母导函数不为零0。函数某点函数值与该点极限无关,因此可以直接“改换”为极限值用于求导,应用柯西中值定理来求双函数导数关系。2.、、0^0型若求导后极限不存在,只能说明洛必达不适用,而不能表明原极限不存在。第三节:泰勒公式提高等价无穷小的精确度,:..:函数在x_o展开时部分直接记忆,部分联系高阶导数记忆,部分推导记忆第四节:单调性与极值、凹凸性与拐点、函数作图、弧微分、:在一个区间 orallx_1,x_2函数值大小关系确定单调性。判别式:区间内可导,由导数确定单调。●极值点定义1、领域内的最值点,极小值点和极大值点的统称。●求极值点求f(x)的驻点即f'(x)=0的点和不可导点,验算极值。、驻点、拐点1、凹凸函数定义2、驻点f'(x)=0判断极值、拐点f''(x)=0判断凹凸性改变位置。3、判定法:①二阶导判断f''(x)>0为凹,反之为凸。②三阶导判断拐点,二阶导f''(x_0)=0,f'''(x_o)eq0,则(x_o,f(x_o))为拐点。、第四章:一元函数不定积分第一节:不定积分概念与基本性质积分运算与微分运算互逆。第二节::..●第一类换元法:凑微分●●第二类换元法:参数换元其单调可导。●三角换元x=sint、tant...:化掉根式。●倒代换x= rac{1}{t}:分母次数太高时。●根式有理化:分子次数太高且分母有根式时。●补充换元函数表●●常用模型:..将三角函数放入dv可以分部变换降低x^n次数。反三角函数则放入du用变换为初等函数求积分。第三节:●有理整式、真分式、假分式●最简分式积分●四类:看书●真分式裂项:●万能公式:=tan rac{x}{2}五、第五章:一元函数定积分第一节::分隔,求和,极限●条件可积:或者有限个第一类间断点。●数列求和极限函数积分是 rianglex_i的最大值,当时,分隔的方法不影响极限值。●积分区间:●数乘与分配:●保号与绝对值:●积分中值定理:第二节::●定积分规定:积分上下限、函数关系确定积分结果而与积分变量无关。●积分上限函数及导数{old{此处}}积分上限的x与积分变量x不同,且表达式中的x随便用替换。:..,此处}}积分上限的x与表达式中的x相同,而积分变量t可以随便替换。::::分割、求和、:微元积分:表示积分微元,再积分变形,最后求定积分。●面积积分:●=X^2+y^2=R^2的面积●对称性只求第一象限,取●●曲线积分:●体积积分:●参数方程、其他坐标系同理六、第七章:微分方程D第一节:?方程的阶数?解?特解?通解?齐次?线性?1、含有导数与微分的方程2、所含导数或微分的最高阶数3、使得方程成立的函数4、不含任意常数的解5、解含有相互独立的任意常数,且个数与方程阶数一致6、未知函数的次数相同的方程7、未知函数的线性组合,线性系数可以是关于x的函数,也可以是常系数第二节:=f(x,y)=?(x)?(y)=f(x,y)=?(y/x)令u=y/x,转换为关于u,’+P(x)y=’+P(x)y=Q(x):..●:^(n)=f(x),::..