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已知两边,可以求第三边及两个角。②直角三角形中,已知一边和一角,可以求另两边及第三个角。。教师:引导,?abc是斜三角形,能否利用解直角三角形,精确计算ab呢?学生:思考,交流,得出过a作ad⊥bc于d如图2,把?abc分为两个直角三角形,解题过程,学生阐述,教师板书。解:过a作ad⊥bc于dada在rt?acd中,sin∠acb=ac∴ad=acsin∠acb=600=cd(图2)∠acb=45?,∠bac=75?∴∠abc=180-∠acb-∠acb=60b在rt?abd中,sin∠abc=adab∴ab=ad==sin∠abc教师:表示对学生赞赏,那么刚才解决问题的过程中,若ac=b,ab=c,能否用b、b、c表示c呢?教师:引导学生再观察刚才解题过程。adad学生:发现sinc=,sinb=bc∴ad=bsinc=csinbbsinc∴c=sinb教师:引导,在刚才的推理过程中,你能想到什么?你能发现什么?bsincasincbsina学生:发现即然有c=,那么也有c=,a=。sinbsinasinbbsincasincbsina教师:引导c=,c=,a=,我们****惯写成对称形式sinbsinasinbcbcaab===,,,因此我们可以发现sincsinbsincsinasinasinbabc==,是否任意三角形都有这种边角关系呢?设计意图:兴趣是最好的老师。如果一节课有良好的开头,那就意味着成功的一半。因此,我通过从学生日常生活中的实际问题引入,激发学生思维,激发学生的求知欲,引导学生转化为解直角三角形的问题,在解决问题后,对特殊问题一般化,得出一个猜测性的结论——猜想,培养学生从特殊到一般思想意识,培养学生创造性思维能力。(二)数学实验,验证猜想教师:给学生指明一个方向,我们先通过特殊例子检验abc==是否成立,举出特例。sinasinbsinc:..(1)在△abc中,∠a,∠b,∠c分别为60?,60?,60?,对应的边长a:b:c为1:1:1,对应角的正弦值分别为引导学生考察,,,222abc,,的关系。(学生回答它们相等)sinasinbsinc(2)、在△abc中,∠a,∠b,∠c分别为45?,45?,90?,对应的边长a:b:c为1:1:2,对应角的正弦值分别为22,,1;22(学生回答它们相等)(3)、在△abc中,∠a,∠b,∠c分别为30?,60?,90?,对应的边长a:b:c为1::2,对应角的正弦值分别为(学生回答它们相等)(图3)1,,1。22bcb(图3)教师:对于rt?abc呢?学生:思考交流得出,如图4,在rt?abc中,设bc=a,ac=b,ab=c,abca则有sina=,sinb=,又sinc=1=,cc===c则bsinasinbsincabc从而在直角三角形abc中,==csinasinbsincab(图4)abc==教师:那么任意三角形是否有呢?学生按事先安排sinasinbsinc分组,出示实验报告单,让学生阅读实验报告单,质疑提问:有什么不明白的地方或者有什么问题吗?(如果学生没有问题,教师让学生动手计算,附实验报告单。)学生:分组互动,每组画一个三角形,度量出三边和三个角度数值,通过实abc验数据计算,比较、、的近似值。sinasinbsincabc教师:借助多媒体演示随着三角形任意变换,、、值仍然sinasinbsinc保持相等。abc我们猜想:==sinasinbsinc设计意图:让学生体验数学实验,激起学生的好奇心和求知欲望。学生自己进行实验,体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。(三)证明猜想,得出定理师生活动::..形,如何abc==用数学的思想方法证明呢?前面探索过程对我们有没有启sinasinbsinc发?学生分组讨论,每组派一个代表总结。(以下证明过程,根据学生回答情况进行叙述)学生:思考得出①在rt?abc中,成立,如前面检验。②在锐角三角形中,如图5设bc=a,ca=b,ab=c作:ad⊥bc,垂足为dad在rt?abd中,sinb=ab∴ad=ab?sinb=c?sinbaad在rt?adc中,sinc=ac∴ad=ac?sinc=b?sinc∴csinb=bsinccb∴=sincsinbac=同理,在?abc中,cbdsinasinc(图5)abc∴==sinasinbsinc③在钝角三角形中,如图6设∠c为钝角,bc=a,ca=b,ab=c作ad⊥bc交bc的延长线于dada在rt?adb中,sinb=ab∴ad=ab?sinb=c?sinbad在rt?adc中,sin∠acd=ac∴ad=ac?sin∠acd=b?sin∠acb∴c?sinb=b?sin∠acbcbb=∴dcsin∠acbsinb(图6)ac=同锐角三角形证明可知sinasincabc==∴sinasinbsin∠acb教师:我们把这条性质称为正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即abc==sinasinbsinc还有其它证明方法吗?学生:思考得出,分析图形(图7),对于任意abc,由初中所学过的面积公式111可以得出:s?abc=ac?bd=cb?ae=ba?cf,222bdae而由图中可以看出:sin∠bac=,sin∠acb=,abaccfsin∠abc=bc∴bd=ab?sin∠bac,ae=ac?sin∠acb,cf=bc?sin∠abc:..111=ac?ab?sinbac=cb?ca?sin∠acb=ba?bc?sin∠abc222∴s?abc=【篇三:正弦定理教案全】:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;:::一、复****引入:,小边对小角的边角关系?是否可以把边、角关系准确量化??abc中,角a、b、c的正弦对边分别是a,b,c,你能发现它们之间有什么关系吗?结论★:。二、讲授新课:探究一:在直角三角形中,你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗?abcab直角三角形中的正弦定理:sina=sinb=sinc=1即c=.==ccsinasinbsinc探究二:能否推广到斜三角形?(先研究锐角三角形,再探究钝角三角形)当?abc是锐角三角形时,设边ab上的高是cd,根据三角函数的定义,有cd=asinb=bsina,,(思考如何作高?),从而==sinasincsinasinbabc.==sinasinbsinc探究三:你能用其他方法证明吗?:(等积法)在任意斜abc当中111s△abc=absinc=acsinb=:..abc即得:==.:(外接圆法)如图所示,∠a=∠d,∴同理aa==cd=2r,sinasindbc=2r,=:(向量法)过a作单位向量j垂直于ac,由ac+cb=ab边同乘以单位向量j得正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即asina=bsinb=csinc=2r[理解定理]1公式的变形:(1)a=2rsina,b=2rsinb,c=2rsinc(3)a:b:c=sina:sinb:sinc(2)sina=(4)abc,sinb=,sinc=,2r2r2rb=,=,=:①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如a=bsina;sin②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如sina=sinb。一般地,已知三角形的某些边和角,,经常用到:ab1absinc2例1已知在?abc中,c=10,a=450,c=300,求a,→讨论如何利用边角关系→示范格式→小结:已知两角一边解:c=10,a=450,c=300∴b=1800-(a+c)=1050:..===102a=0sinasincsincsin30bccsinb10?sin1050=由得b===20sin750=5+520sinbsincsincsin30例2?abc中,c=6,a=450,a=2,求b和b,caccsina6?sin450解:=,∴sinc===sinasinca220?c180?,∴c=600或1200csinb6sin750∴当c=60时,b=75,b===3+1,0sincsin60csinb6sin150∴当c=120时,b=15,b===-1sincsin600∴b=+1,b=750,c=600或b=-1,b=150,c=1200练****abc中,b=3,b=600,c=1,求a和a,cbccsinb1?sin6001解:∵=,∴sinc===sinbsincb23bc,b=600,∴cb,c为锐角,∴c=300,b=900∴a=b2+c2=2【变式】?abc中,a=a=1350,b=求b四、小结:五、课后作业abc===k,则k为(2a)sinasinbsincrrr(r为abc外接圆半径)abc中,?abc中,已知角b=45,c=22,b=43,、在△abc中,若a=30?,b=60?,则a:b:c=1::24、在?abc中,若b=60,b=7,a=14,则a=。5、在△abc中,ab=6,a=30?,b=120?,则三角形abc的面积为:..?abc中,已知a=3,b=2,b=45,解三角形。六、:①发现并掌握正弦定理及其证明方法;②会用正弦定理解决三角形中的简单问题。,把三角形的三个角a,b,(1)(2)问题引入:1、在任意三角形行中有大边对大角,、角关系准确量化?2、在abc中,角a、b、c的正弦对边分别是a,b,c,你能发现它们之间有什么关系吗?结论★:。二合作探究:1、探究一:在直角三角形中,你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗?2、探究二:能否推广到斜三角形?(先研究锐角三角形,再探究钝角三角形)3、探究三:你能用其他方法证明吗?4、正弦定理的变形:5、正弦定理的应用(能解决哪类问题):三例题讲解例1已知在?abc中,c=10,a=450,c=300,求a,b和b例2?abc中,c=6,a=450,a=2,求b和b,c例3在?abc中,b=3,b=600,c=1,求a和a,c【变式】?abc中,a=a=1350,b=求b思考:通过上面的问题,你对使用正弦定理有什么想法?四课堂练****必修5课本p4t1、2五课后作业:abc===k,则k为()sinasinbsincrrr(r为abc外接圆半径)abc中,sin2a=sin2b+sin2c,则△abc为():..3在?abc中,已知角b=45,c=22,b=4,、在?abc中,若b=60,b=7,a=14,则a=。5、在?abc中,已知a=3,b=2,b=45,解三角形。六心得反思