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…………………………………………………………"分当A5"时%"5A'":A&":A&!'(5A&(&!(5A&!&("%整理得%5A'(5A&!%又%所以5A%……………………………………………………………………分5A&!-+'(05A&!所以数列)5A*是首项为(%公比为(的等比数列%所以5A'(A!…………………………………………………………………………………7分!""若选"%由!!"可得%8'(A=5C5'A+(A%………………………………………………3分A(A所以&'!9($"9("$(9(($1$A+(A%A(&'!9("$"9(($(9(2$1$A+(A$!%A两式相减得&"&A'($("$(($1$(A&A+(A$!…………………………………………<分(!!&(A"'&A+(A$!!&(!&A+A$!(%'!""(&"所以A!+A$!(!6"…………………………………………………分&A'!&"($A&"!!""22(A9<A(A9<A若选#%由!!"可得%8A'''A+(A!…………………………………3分%后同!5A$!(A$!若选%由!!"可得%8'A!5&5"'A!(A$!&(A"'A+(A!…………………3分%后同!$A"A$!A"#命题意图$本小题设置课程学习情境%设计结构性不良的数列问题%主要考查数列的前A项和与通项公式%等比数列的性质%错位相减法求数列的和等基础知识&考查运算求解能力%推理论证能力%化归与转化思想&考查数学运算%逻辑推理等数学核心素养%应用意识(!<!#解析$!!"如图%取#$%(1的中点*%,%连接*B%B,%,4%4*!因为4,+1(%平面4(1+平面#$(1%数学!理科"试题答案第!!!!7页!共!"页":..平面4(1#平面#$(1'(1%所以4,+平面#$(1!…………………………………"分同理%B*+平面#$(1!所以4,**B!……………………………………………(分又0#B$和0(41是等腰直角三角形%所以4,'*B%四边形*B,4为平行四边形%所以*4*B,%又因为#$*(1%#$#*4'*%(1#,B',%所以平面#$4*平面(1B!…………………………………………………………………2分!""如图%以#点为原点%#$所在直线为+轴%过#平行于*B的直线为%轴%在平面#$(1内垂直于#$的直线为9轴%建立空间直角坐标系!设#$'"%$#1'%+%!%)##&!(0则#!+%+%+"%$!+%"%+"%(!+%"$"456#%"6%8#"%1!+%"456#%"6%8#"%B!!%!%+"!所以(('!%%"%(('(('!%%"%(('!%%"……………………分#B'!!+#1'$('+"456#"6%8#$B'!&!+!7设平面#1B的法向量为$!'!%!%+!%9!"%则(('+%8#B$!'%!$+!'+7(('9#1+$!'"456#++!$"6%8#+9!'+!令%得%456#%所以%%456#………………………………分%!'!+!'&!9!'$!'!!&!"!36%8#6%8#设平面$(B的法向量为$"'!%"%+"%9""%则(('+%8$B$"'%"&+"'+7(('9$(+$"'"456#++"$"6%8#+9"'+!%%456#%(('%%456#令%"'&!得+"'&!9"'所以$"'!&!&!"!…………………………;分6%8#6%8#456#"456#"$!+$"!6%8#"!6%8#"所以456,$!%$"-''""'"!………!+分%$!%%$"%456#456#456#"$+"$"$!"槡!6%8#"槡!6%8#"6%8#456#!&6%8"#&456"#&!设C'!#&!+%0"%则C)'"'",+%6%8#(!6%8#"!6%8#"所以456#在%!上单调递减%所以槡(C'!+0C&/%$?"6%8#((C""!所以456,$!%$"-'"'!&"&/%!"%…………………………………………!"分"$C"$C3数学!理科"试题答案第!!!!3页!共!"页":..所以平面与平面所成锐二面角的取值范围是!%#1B$(B/!"!3#命题意图$本小题设置数学课程学习情境%设计立体几何问题%主要考查空间线线'线面位置关系%空间二面角等基础知识&考查推理论证能力%空间想象能力%运算求解能力&考查直观想象%逻辑推理等数学核心素养%应用意识(#解析$!"由!%"%!%!%"+!!D!+:0#!*,'%*,%;#!&*,:0#"*,'%*,%;#"&*,"":0#!*,;#!&*,%#!D%5$!故''''(%则5'"B…………………………………………"分:0#"*,;#"&*,%#"D%5&!由槡(%得%%7'6'槡(8'!"%"故椭圆(的方程为.$+"'!B……………………………………………………………2分2!""由!!"可得#!!&"%+"%#"!"%+"%设*!%!%+!"%,!%"%+""!显然直线*,的斜率不为+%所以设直线*,的方程为%'-+$!!%""将%'-+$!与$+'!联立%2可得!-"$2"+"$"-+&('+%其中$'!7!-"$(".+%则$'&"-%'&(!…………………………………………………………3分+!+""+!+""-$2-$2因为直线的方程为+!!"%直线的方程为+"!"%*#!+'%$"%$",#"+'%&"%&"!"联立直线*#!与直线,#"的方程可得.%$"+"!%!$""+"!-+!$("-+!+"$(!+!$+""&(+!'!"'!"'%&"+!%"&"+!-+"&!-+!+"&+!-+&($(+&"-&(&<-&(""+!"+!'-$2-$2'-$2'(!……………………………………!!分+&(&(--"&+!"&+!-$2-$2由%$"可得%即%%&"'(%'2%0'2故点0在定直线%'2上!…………………………………………………………………!"分#命题意图$本小题设置数学课程学习情境%设计直线与椭圆问题%主要考查椭圆的方程%椭圆中的三角形%直线过定点等基础知识&考查运算求解能力%推理论证能力%化归与转化思想%数形结合思想&考查数学运算%逻辑推理等数学核心素养%应用意识(数学!理科"试题答案第!!!!;页!共!"页":.."!!#解析$!!"依题意%2)!%"'=8%&"5%&!%设过点!!%+"的直线与曲线+'2!%"相切时的切点为!%+%++"%斜率3'=8%+&"5%+&!%则+&!%+=8%+&5%"+"+&"%+"'!=8%+&"5%+&!"!%&%+"%点!!%+"的坐标代入可得%则&%+=8%+$5%"+"+$"%+'!=8%+&"5%+&!"!!&%+"%即有5%"+"+&"5%+&%+$=8%+&!'+%…………………………………………………………"分解法!.若过点!!%+"可作曲线+'2!%"两条切线%只需方程5%"+"+&"5%+&%+$=8%+&!'+方程有两个不相等的实数根即可!令!%"'5%"&"5%&%$=8%&!%只需函数!%"有"个零点即可!EE!"5%"&!"5$!"%$!!"5%&!"!%&!"则E)!%"'"5%&"5&!$''%………………(分%%%若5!%则+%!时%)!%"+&!%!时%)!%"+&%!时%)!%"+%".",,"5E."5,,E,.!时%!"取极大值&时%!"取极小值%%'E%%'!E%"5!!"!!!!又E!"'5+!"&"5+&$=8&!'&=8"5&&",+%"5"5"5"5"525%'$?时%E!%"'$?%函数E!%"只有!个零点%不合题意!………………………………………………………2分若!%同理可知%此时时%!"取极大值&!时%!"取极小值%#+,5,%'!E%%'E%""5又E!!"'&5&",+%%'$?时%E!%"'$?%函数E!%"只有!个零点%不合题意!$若5/+%"5%&!/+%则+,%,!时%E)!%".+&%.!时%E)!%",+%所以%'!时%E!%"取极大值E!!"'&5&"%又%'+时%E!%"'&?%%'$?时%E!%"'&?%函数E!%"有"个零点%则必有E!!"'&5&".+%得5,&"%故过点!!%+"可作曲线+'2!%"两条切线时%5的取值范围是!&?%&""!………………7分解法".显然%%-"!!%"!"%%+$!&=8%+若过点!+可作曲线+'2%两条切线只需方程5'"方程有两个不相等的实%+&"%+数根即可!令!%"'%$!&=8%%E"%&"%!&!!%"&"%"&!%$!&=8%"!"%&""!%"!%&!"!"=8%&%&2"则E)!%"'""'""%………"分!%&"%"!%&"%"数学!理科"试题答案第!!!!<页!共!"页":..令!"%则!""%F%'"=8%&%&2F)%'&!%可知+,%,"时%F)!%".+%F!%"单调递增&%."时%F)!%",+%F!%"单调递减%所以F!%"/F!"",=8"&7,+%故当+,%,!时%E)!%".+%E!%"单调递增&!,%,"时%E)!%",+%E!%"单调递减&%."时%E)!%",+%E!%"单调递减!又%."时%由=8%,%$!%则E!%".+&由上可知%'!时%E!%"取得极大值%也即为%&!+%""时%E!%"取得最大值E!!"'&"%又%'+时%E!%"'&?&%'"&时%E!%"'&?%函数E!%"的大致图象如右图所示!所以%+$!&=8%+方程有两个不相等的实数根时%5'"5,&"!%+&"%+故过点!!%+"可作曲线+'2!%"两条切线时%5的取值范围是!&?%&""!………………………………………7分!"""由!!"知%2)!%"'=8%&"5%&!%因为!"有两个极值点%%!"即=8%&!有两个实数根%%2%%!%"2)%'+"5'%!%"%令!"=8%&!%!""&=8%%-%'-)%'"%%可知"时%!"%!"单调递增%此时!"!&当"时%!"%!"+,%,>-)%.+-%-%,"%.>-)%,+-%>单调递减%此时!"!%+,-%,">所以!"即=8%&!有两个实数根时%!2)%'+"5'%+,"5,"!>则!"有两个极点时%+%!………………………………………………………分2%5&!""!;">8=8%!&"5%!&!'+%8=8%!'"5%!$!%由即得=8%!&=8%"%#77"5'9=8%"&"5%"&!'+%9=8%"'"5%"$!%%!&%"要证明%!%"""".!7>(%只需证明=8%!$"=8%".2=8"$(!%!=8由题%!"!"+=8%!&=8%"%!+%"%=8%!$"=8%"'"5%!$"%"$('%!$"%"$('!$""$(%!&%"%"%!%&!"%!!"%%令C'%!.2%"%"数学!理科"试题答案第!!!!+页!共!"页":..欲证明%也即证明!"+=8C!"%…………………分=8%!$"=8%".2=8"$(C$".2=8"!+C&!只需证明=8C&2=8"+C&!+!C2"即可%C$"..令G!C"'=8C&2=8"+C&!!C2"%C$".C$2$2&!"=8"!(C"$2C$2&!"=8"+CC可知G)!C"'&2=8"+"'"'""%C!C$""C!C$""C!C$""则!"2在时单调递增%故!"!"%则!"%"C'C$2$&!"=8""C."2'<&!"=8".+G)C.+C令!"在时单调递增%则!"!"!%'=82&299=8"'+"故!"+=8C!"%即%C$".2=8"=8%!$"=8%".2=8"$(C&!所以%%".!7>(!……………………………………………………………………………!"分!"#命题意图$本小题设置探究创新情境%主要考查导数几何意义'极值'函数的零点%函数与导数的综合应用等基础知识%考查化归与转化'函数与方程等数学思想&考查数学抽象'逻辑推理'数学运算等数学核心素养(选考题""!#解析$!!"由题知%:(的直角坐标方程为(.!%&"""$!+&"""'2%……………………"分即%"$+"&2%&2+$2'+%故:(的极坐标方程为"&2456#&26%8#$2'+B………………………………………2分%%%!"设.%%!%%"0D#'!!&!+"/0'%!/D'%"!"联立直线0D和圆(的方程得."&2456!&26%8!$2'+%…………………………………………………………………7分%%%则%!$%"'2!456!$6%8!"%%!%"'2B………………………………………………………3分故!"!%……………………………分%/0%$%/D%'%!$%"'2456!$6%8!'2槡"6%8!!$"<2故当!时%取得最大值……………………………………………分!'2%/0%$%/D%2槡"!!+#命题意图$本小题设置课程数学情境%设计极坐标问题%主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化%直线与圆的位置关系%弦长等基础知识&考查运算求解能力%推理论证能力%应用意识(数学!理科"试题答案第!!!!!页!共!"页":.."(!#解析$!!"当%,&"时%2!%"'&(%&".2&当&"/%/"时%2!%"'%$7&/2%;0&当%."时%2!%"'(%$".;!则2!%"的最小值为2B………………………………………………"分由于对任意%&#%使得2!%"55"&(5恒成立%所以255"&(5%解得&!/5/2%故5的取值范围是/&!%20!…………………………………………………………………0分!"由!"可知!"的最小值为%则!!2%"!2%*'2$$'2586则2!5$8$6"'!$!$2!5$8$6"'7$8$6$5$6$25$28………………7分!586"55886685628625……………………………………………………分'7$!$"$!$"$!$";5886568+56+286+2557$"$"$"槡58槡86槡56'!7%当且仅当85%628%625且!!2取23%即%取23'''$$'2'5'8'!6'"'!588656586所以5$8$652B…………………………………………………………………………!+分#命题意图$本小题设置课程学习情境%主要考查均值不等式应用'不等式的证明方法等基础知识%考查分类与整合思想&考查数学抽象'逻辑推理'数学运算等数学核心素养(数学!理科"试题答案第!!!!"页!共!"页"