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辽宁省沈阳市崇文中学2021-2022学年高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为（ ）
A． B． C． D．2
参考答案：
C
【分析】等边三角形ABC是半径为 r的圆O的内接三角形，则线AB所对的圆心角∠AOB=，求出AB的长度（用r表示），就是弧长，再由弧长公式求圆心角弧度数．
【解答】解：如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，
则线AB所对的圆心角∠AOB=，
作OM⊥AB，垂足为M，在 rt△AOM中，AO=r，∠AOM=，
∴AM=r，AB=r，
∴l= r，由弧长公式 l=|α|r，
得，α===．
故选 C．
【点评】本题考查圆心角的弧度数的意义，以及弧长公式的应用，体现了数形结合的数学思想．
2. 与圆x2+y2+4x+3=0及圆x2+y2﹣4x=0都外切的圆的圆心的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．圆 C．半圆 D．双曲线的一支
参考答案：
D
【考点】轨迹方程．
【分析】设所求圆的圆心坐标P（x，y），半径为r，两圆的圆心分别是C1，C2，根据题意可知两圆心的坐标，根据所求圆与两个圆都外切进而可得PC1|和|PC2|的表达式，整理可得|PC2|﹣|PC1|=1，根据双曲线定义可知P点的轨迹为C1，C2为焦点的双曲线的一支．
【解答】解：设所求圆的圆心坐标P（x，y），半径为r，两圆的圆心分别是C1，C2，
圆x2+y2+4x+3=0及圆x2+y2﹣4x=0，可化为圆（x+2）2+y2=1及圆（x﹣2）2+y2=4
∵所求圆与两个圆都外切，
∴|PC1|=r+1，|PC2|=r+2，
即|PC2|﹣|PC1|=1，
根据双曲线定义可知P点的轨迹为以C1，C2为焦点的双曲线的一支，
故选D．
3. 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，用向量来表示向量
A.    
B.   
C.
D.
                                                                          
参考答案：
2 / 6
B
略
4. 设函数，，且满足：对，当成立时，总可推出成立，那么，下列命题总成立的是…(  )
A．若成立，则当时，均有成立
B．若成立，则当时，均有成立
C．若成立，则当时，均有成立
D．若成立，则当时，均有成立
参考答案：
D
略
5. 已知函数的导数为 ，且满足关系式，则=（   ）
A．     B．    C．  D．
参考答案：
C
6. 命题p：x∈R， 的否定是                             (     )
A．           B．  
      C．            D．
 
参考答案：
B
7. 设，函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值是（    ）
A．         B．       C．         D．
参考答案：
A
函数的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式为
，
由题意得，
∴，
∵，
∴的最小值是．选A．
 
8. 抛物线的焦点坐标为（  ）
A． B． C． D．(1,0)
参考答案：
B
9. 已知，则的展开式中的系数为（  ）
A. －15 B. 15 C. －5 D. 5
参考答案：
D
由题意得，
故求的展开式中的系数．
∵，
展开式的通项为．
3 / 6
∴展开式中的系数为．选D．
10. 一正四棱锥各棱长均为a，则其表面积为
A.                     B.
C.                   D.
参考答案：
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 命题“，”的否定是______．
参考答案：
全称命题否定为特称命题，
则命题“”的否定是.
12. 过点且与双曲线只有一个公共点的直线有           条。
参考答案：
4
略
13. 已知点A（1，2，1）、B（－1，3，4）、D（1，1，1），若=2，则| |的值是__________
参考答案：
略
14. 点P在直线上，O为原点，则|的最小值是           
参考答案：
略
15. 已知过椭圆E:的焦点的弦的中点M的坐标是，则椭圆E的方程是_____________.
参考答案：
略
16. 已知m为函数f（x）=x3﹣12x的极大值点，则m= ．
参考答案：
﹣2
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】求出导函数，求出极值点，判断函数的单调性，求解极大值点即可．
【解答】解：函数f（x）=x3﹣12x，可得f'（x）=3x2﹣12，
令3x2﹣12=0，x=2或﹣2，
x∈（﹣∞，﹣2），f'（x）＞0，x∈（﹣2，2）f'（x）＜0，x∈（2，+∞），f'（x）＞0，
x=﹣2函数取得极大值，所以m=﹣2．
故答案为：﹣2．
17. .命题“在△ABC中，若∠C=90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题是_____________ .
参考答案：
在△ABC中，若∠C≠900，则∠A、∠B不都是锐角. 
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本题满分10分)已知等差数列中，
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列前项和，求的值。
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参考答案：
19. 求适合下列条件的的圆锥曲线的标准方程和离心率：
(1) （5分）椭圆焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．
   （2）（5分）双曲线的焦点为(0，±6)且与双曲线－y2＝1有相同渐近线
参考答案：
(1)由于椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)
由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
∴?
故所求椭圆的方程为＋x2＝1.
   （2）与双曲线－y2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为－y2＝λ(λ≠0)，
又因为双曲线的焦点在y轴上，
∴方程可写为－＝1.
又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，
∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12.
∴双曲线方程为－＝1.
20. 已知数列{an}满足.
（1）求，，的值，猜想并证明{an}的单调性；
（2）请用反证法证明数列{an}中任意三项都不能构成等差数列．
参考答案：
（1）计算得，猜想该数列为单调递减数列. ………………………2分
下面给出证明：，
因为，故，所以恒成立，即数列为单调递减数列. ………………………6分
（2）假设中存在三项成等差数列，不妨设为这三项，………………………8分
由（1）证得数列为单调递减数列，则，即，
两边同时乘以，则等式可以化为，（※） ……………12分
因为，所以均为正整数，故与为偶数，
而为奇数，因此等式（※）两边的奇偶性不同，故等式（※）不可能成立，
所以假设不成立，故数列中任意三项都不能构成等差数列．             ………………………14分
 
21. A市某机构为了调查该市市民对我国申办2034年足球世界杯的态度，随机选取了140位市民进行调查，调查结果统计如下：
 
支持
不支持
总计
男性市民
 
 
60
女性市民
 
50
 
总计
70
 
140
（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；
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（2）？请说明理由.
附：，其中.
请考生从第19题中的A、：，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
参考答案：
（1）
 
支持
不支持
总计
男性市民
女性市民
总计
（2）因为的观测值，
所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为支持申办年足球世界杯与性别有关.
22. 共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照 分成5组，制成如图所示频率分直方图．
（1）求图中x的值；
（2）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为2：1，若在满意度评分值为的人中随机抽取4人进行座谈，设其中的女生人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
参考答案：
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）频率和为1列出方程求得x的值；
（2）计算满意度评分值在内的人数，写出X的值可能取值，
计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．
【解答】解析：（1）由（++++x）×10=1，
解得x=；
（2）满意度评分值在内有100××10=9人，
其中男生6人，女生3人；
则X的值可以为0，1，2，3；
计算，
，
，
；
则X分布列如下：
X
0
1
2
3
P
所以X的期望为．
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