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辽宁省大连市甘井子区金湾中学高三数学文下学期期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知双曲线： ﹣=1（），点为的左焦点，点为上位于第一象限内的点，关于原点的对称点为，且满足，若，则的离心率为（ ）
A.               B.              C. 2               D.
参考答案：
B
2. 设向量=，=，则“”是“⊥”的（   ）
   
   
参考答案：
A
略
3. 过点和的直线斜率为，那么的值为（   ）
A．1     B．4      C．1或3     D．1或4
参考答案：
A
4. 若集合的子集个数为
A．2          B．3            C．4          D．16
参考答案：
C
5. 对于函数，若在其定义域内存在两个实数、（＜），使当时，函数的值域也是，则称函数为“闭函数”。若函数是闭函数，则的取值范围是                                                     （    ）
A.        B           C       D 
参考答案：
D
略
6. 已知二次函数，当n依次取时，其图像在x轴上所截得的线段的长度的总和为（     ）
       B．          C.         D. 
参考答案：
B
略
7. 等差数列中的最大项是（    ）
    A．S6                        B．S6，S7                 C．S5，S6          D．S7
参考答案：
B
8. 在△ABC中，AB=AC，M为AC的中点，BM=，则△ABC面积的最大值是
（A）2       （B）      （C）      （D）3
参考答案：
B
考点：余弦定理
因为设则，
得
2 / 8
，
，
当时上式有最大值为2，
故答案为：B
 
9. 双曲线的实轴长是( )
A．2            B．2          C．4        D．4
参考答案：
【知识点】双曲线方程及其简单几何性质。H6
【答案解析】C   解析：双曲线方程可变形为，所以.
故选C.
【思路点拨】先把双曲线化成标准方程，再求出实轴长。
【答案】
【解析】
10. 下列说法正确的是
  A. “若，则”的否命题是“若，则”   
B.  在中，“” 是“”必要不充分条件
C. “若，则”是真命题   
参考答案：
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 平面上三点A、B、C满足，，则+
        
参考答案：
--25
12. 已知函数则满足不等式的的取值范围
是                   .
参考答案：
 
【知识点】函数的单调性与最值. B3
解析：由题意可得1）或2），由1）可得-1<x<0,由2）可得，综上可得，实数x的取值范围为.
【思路点拨】主要考查了一元二次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想.
13. 已知双曲线的右焦点F为圆x2+y2﹣4x+3=0的圆心，且其渐近线与该圆相切，则双曲线的标准方程是 ．
参考答案：
=1
【考点】圆与圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．
【分析】求得圆C的圆心和半径，可得c=2，即a2+b2=4，求出双曲线的渐近线方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，解得b=1，a=，即可得到双曲线的方程．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x+3=0的圆心为（2，0），半径为1，
即有F（2，0），即c=2，即a2+b2=4，
双曲线的渐近线方程为y=±x，
由直线和圆相切的条件，可得：
3 / 8
=1，解得b=1，a=，
可得双曲线的标准方程为=1．
故答案为： =1．
14. 已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为       ．
参考答案：
3
第一次循环有；第二次循环有；第三次循环有；此时满足条件，输出。
15. （5分）若二项式（+2）n（n∈N*）的展开式中的第5项是常数项，则n= ．
参考答案：
6
【考点】： 二项式系数的性质．
【专题】： 二项式定理．
【分析】： 先求出二项式展开式的通项公式，再根据r=4时，x的幂指数等于0，求得n的值．
解：二项式（+2）n（n∈N*）的展开式的通项公式为 Tr+1=?2r?，
由于第5项是常数项，可得﹣n=0，∴n=6，
故答案为：6．
【点评】： 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
16. 若是偶函数，则____________.
参考答案：
17. 已知条件p：log2(1－x)<0，条件q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是____．
参考答案：
(－∞，0]
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知数列是以为公差的等差数列，数列是以为公比的等比数列.
⑴若数列的前项的和为，且，，求整数的值；
4 / 8
⑵在⑴的条件下，试问数列中是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续项的和？请说明理由；
⑶若，（其中，且是的约数），求证：数列中每一项都是数列中的项.
参考答案：
⑴由题意知，，所以由，
得TT，
解得，又为整数，所以=2.
⑵假设数列中存在一项，满足，因为，
∴TTT       (*)
又
     ，所以，此与  (*)式矛盾.
所以，这样的项不存在.
⑶由，得，则.
  又T，
从而.
因为T，所以，又，故.
又，且是的约数，所以是正整数，且.
对于数列中任一项（这里只要讨论的情形），有
  
，
由于是正整数，所以一定是数列中的项.
19. （本题满分14分）设函数．
（Ⅰ）若在x=处的切线与直线4x+y=0平行，求a的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为，证明．
参考答案：
（I）由题知f(x)=2ax2+(a+4)x+lnx的定义域为(0，+∞)，
且．
又∵ f(x)的图象在x=处的切线与直线4x+y=0平行，
∴ ，
解得  a=-6．…………………………………………………………………… 4分
（Ⅱ），
由x>0，知>0．
①当a≥0时，对任意x>0，>0，
5 / 8
∴  此时函数f(x)的单调递增区间为(0，+∞)．
②当a<0时，令=0，解得，
当时，>0，当时，<0，
此时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，+∞)．
                           ………………………………………………………………9分
（Ⅲ）不妨设A(，0)，B(，0)，且，由（Ⅱ）知 ，
于是要证<0成立，只需证：即．
∵，   ①
，  ②
①-②得，
即，
∴ ，
故只需证，
即证明，
即证明，变形为，
设，令，
则，
显然当t>0时，≥0，当且仅当t=1时，=0，
∴  g(t)在(0，+∞)上是增函数．
又∵ g(1)=0，
∴ 当t∈(0，1)时，g(t)<0总成立，命题得证．……………………………14分
20. 已知函数f（x）=，g（x）=x2﹣（a+1）x
（1）①求函数f（x）的最大值；
②证明：．
（2）当a≥0时，讨论函数h（x）=+a﹣axf（x）与函数g（x）的图象的交点个数．
参考答案：
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）①求出导函数，根据导函数求出函数的极值，得出函数的最值；②对（1）变形可得，利用放缩法逐步得出结论；
（2）构造函数，对参数a进行分类讨论，根据导函数得出函数的单调性，通过探寻函数的正负得出函数的零点．
【解答】【解析】（1）①，由f'（x）=0?x=1，列表如下：
x
（0，1）
1
（1，+∞）
f'（x）
+
0
﹣
f（x）
单调递增
极大值1
单调递减
因此增区间（0，1），减区间（1，+∞），极大值f（1）=1，无极小值．故函数f（x）的最大值为1
②由①可得，当且仅当x=1时取等号，
令x=n2（n∈N*，n≥2），则
即
（2）令，问题等价于求函数F（x）的零点个数．
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①当a=0时，F（x）=﹣x2+x，显然有一个零点x=2，F'（x）=﹣
②a=1，F'（x）≤0，F（x）递减，
∵F（1）=＞0，F（4）=﹣ln4＜0，
∴F（x）在（1，4）有唯一零点存在；
③a＞1，当0＜x＜1和x＞a时，F'（x）＜，F（x）递减，1＜x＜a时，F（x）递增，
F（1）=a+＞0，F（2a+2）=﹣aln（2a+2）＜0，
∴F（x）在（1，2a+2）上有唯一零点；
④当0＜a＜1时，0＜x＜a和x＞1时，F'（x）＜0，F（x）递减，当（a＜x＜1时，F（x）递增
∵F（1）=a+＞0，F（a）=（a+2﹣2lna）＞0，f（2a+2）=﹣aln（2a+2）＜0，
所以F（x）在（1，2a+2）内有唯一零点．
综上，F（x）有唯一零点，即函数f（x）与g（x）的图象有且仅有一个交点．
【点评】本题考查了利用导函数判断函数的极值，通过极值求出函数的最值；构造函数，通过导函数判断函数的单调性，得出函数的单调性，通过探寻函数的正负得出函数的零点数．难点是对参数的分类讨论．
21. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，.
求与交点的极坐标；
设点在上，，求动点的极坐标方程.
参考答案：
解：联立，，
，，
，
交点坐标.
设,且，，
由已知，得，
，点的极坐标方程为.
22. 已知函数f（x）=ax2+2x﹣lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=4，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若f′（x）在（0，1）有唯一的零点x0，求a的取值范围；
（Ⅲ）若a∈（﹣，0），设g（x）=a（1﹣x）2﹣2x﹣1﹣ln（1﹣x），求证：g（x）在（0，1）内有唯一的零点x1，且对（Ⅱ）中的x0，满足x0+x1＞1．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．
【专题】导数的综合应用．
【分析】解法一：（Ⅰ）当a=4时，化简函数的解析式，求出定义域，函数的导数，求出极值点，利用导函数的符号判断函数的单调性，求解极值即可．
（Ⅱ）利用，通过导函数为0，构造新函数，通过分类讨论求解即可．
（Ⅲ）设t=1﹣x，则t∈（0，1），得到p（t），求出函数的导数，通过方程2at2+2t﹣1=0在（0，1）内有唯一的解x0，利用导数判断单调性，然后求解证明．
解法二：（Ⅰ）同解法一；
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（Ⅱ）求出，通过f′（x）=0，推出，设，则m∈（1，+∞），问题转化为直线y=a与函数的图象在（1，+∞）恰有一个交点问题．
求解证明即可．
（Ⅲ）同解法一．
【解答】满分（14分）．
解法一：（Ⅰ）当a=4时，f（x）=4x2+2x﹣lnx，x∈（0，+∞），．…（1分）
由x∈（0，+∞），令f′（x）=0，得．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表：
x
f′（x）
﹣
0
+
f（x）
↘
极小值
↗
故函数f（x）在单调递减，在单调递增，…（3分）f（x）有极小值，无极大值．…（4分）
（Ⅱ），
令f′（x）=0，得2ax2+2x﹣1=0，设h（x）=2ax2+2x﹣1．
则f′（x）在（0，1）有唯一的零点x0等价于h（x）在（0，1）有唯一的零点x0
当a=0时，方程的解为，满足题意；…（5分）
当a＞0时，由函数h（x）图象的对称轴，函数h（x）在（0，1）上单调递增，
且h（0）=﹣1，h（1）=2a+1＞0，所以满足题意；…（6分）
当a＜0，△=0时，，此时方程的解为x=1，不符合题意；
当a＜0，△≠0时，由h（0）=﹣1，
只需h（1）=2a+1＞0，得．…（7分）
综上，．…（8分）
（说明：△=0未讨论扣1分）
（Ⅲ）设t=1﹣x，则t∈（0，1），p（t）=g（1﹣t）=at2+2t﹣3﹣lnt，…（9分），
由，故由（Ⅱ）可知，
方程2at2+2t﹣1=0在（0，1）内有唯一的解x0，
且当t∈（0，x0）时，p′（t）＜0，p（t）单调递减；t∈（x0，1）时，p′（t）＞0，p（t）单调递增．…（11分）
又p（1）=a﹣1＜0，所以p（x0）＜0．…（12分）
取t=e﹣3+2a∈（0，1），
则p（e﹣3+2a）=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3﹣lne﹣3+2a=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3+3﹣2a=a（e﹣6+4a﹣2）+2e﹣3+2a＞0，
从而当t∈（0，x0）时，p（t）必存在唯一的零点t1，且0＜t1＜x0，
即0＜1﹣x1＜x0，得x1∈（0，1），且x0+x1＞1，
从而函数g（x）在（0，1）内有唯一的零点x1，满足x0+x1＞1．…（14分）
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解法二：（Ⅰ）同解法一；…（4分）
（Ⅱ），
令f′（x）=0，由2ax2+2x﹣1=0，得．…（5分）
设，则m∈（1，+∞），，…（6分）
问题转化为直线y=a与函数的图象在（1，+∞）恰有一个交点问题．
又当m∈（1，+∞）时，h（m）单调递增，…（7分）
故直线y=a与函数h（m）的图象恰有一个交点，当且仅当．…（8分）
（Ⅲ）同解法一．
（说明：第（Ⅲ）问判断零点存在时，利用t→0时，p（t）→+∞进行证明，扣1分）
【点评】本题考查函数与导数等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力．