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第20讲 立体几何中的轨迹问题6类
【题型一】由动点保持平行性求轨迹
【典例分析】
如图，在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分别是CC1、C1D1、DD1、CD、BC的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若MN∥面A1BD，则点M轨迹的长度是（ ）
A．a B．a C． D．
【变式演练】
，点在上，且，点是三角形内（含边界）的一个动点，且有平面平面，则动点的轨迹是（ ）
A．三角形边界的一部分 B．一个点
C．线段的一部分 D．圆的一部分
，、分别是棱、的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（ ）
2
A． B． C． D．
，点E，F分别是棱，的中点，P是上底面内一点（含边界），若平面BDEF，则Р点的轨迹长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【题型二】动点保持垂直性求轨迹
【典例分析】
在正方体中，Q是正方形内的动点，，则Q点的轨迹是（ ）
A．点 B．线段 C．线段 D．平面
【变式演练】
，点在侧面及其边界上运动，且保持，则动点的轨迹为
A．线段 B．线段
C．的中点与的中点连成的线段 D．的中点与的中点连成的线段
，M，N分别为，的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足．给出下列说法：
①点P可以是棱的中点；
②线段MP的最大值为；
③点P的轨迹是正方形；
④点P轨迹的长度为．
3
其中所有正确说法的序号是________．
，在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，则下列说法不正确的是（ ）
A．与不可能平行
B．与是异面直线
C．点的轨迹是一条线段
D．三棱锥的体积为定值
【题型三】由动点保持等距（或者定距）求轨迹
【典例分析】
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为底面ABCD内一点，若P到棱CD，A1D1距离相等的点，则点P的轨迹是（ ）
4
A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
【变式演练】
，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为正方形，侧面底面，为正方形内（包括边界）的一个动点，且满足．则点在正方形内的轨迹为（ ）
A． B．
C． D．
，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，长为的线段的一个端点在线段上运动，另一个端点在底面上运动，则线段的中点的轨迹（曲面）与正方体（各个面）所围成的几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
﹣OABC中，底面OABC是正方形，OP⊥OA，OA＝OP＝a．D是棱OP上的一动点，E是正方形OABC内一动点，DE的中点为Q，当DE＝a时，Q的轨迹是球面的一部分，其表面积为3π，则a的值是（ ）
A． B． C． D．6
5
【题型四】由动点保持等角（或定角）求轨迹
【典例分析】
正方体中，，分别为，的中点，是边上的一个点（包括端点），是平面上一动点，满足直线 与直线 夹角与直线与直线 的夹角相等，则点所在轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．抛物线或双曲线
【变式演练】
，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．直线 B．抛物线
C．椭圆 D．双曲线的一支
，为长方体，且AB=BC=2，=4，点P为平面上一动点，若，则P点的轨迹为（ ）
6
A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆
，，，M为棱BC的中点，动点P满足，则点P的轨迹与长方体的侧面的交线长等于___________.
【题型五】 投影求轨迹
【典例分析】
1822年，比利时数学家 Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得与小球相切．若，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
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【变式演练】
，已知水平地面上有一半径为3的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，．若光线与地面所成角为，椭圆的离心率__________．
【题型六】翻折与动点求轨迹（难点）
【典例分析】
如图，将四边形中，沿着翻折到，则翻折过程中线段中点的轨迹是（ ）
A．椭圆的一段 B．抛物线的一段
C．双曲线的一段 D．一段圆弧
【变式演练】
△ABC的边长都为2，在边AB上任取一点D，沿CD将△BCD折起，使平面BCD⊥平面ACD．在平面BCD内过点B作BP⊥平面ACD，垂足为P，那么随着点D的变化，点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．π
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，等腰梯形中，，，，，沿着把折起至，使在平面上的射影恰好落在上．当边长变化时，点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
，，，如图，将沿着进行翻折，使得点与点重合，若点在平面上的射影在四边形内部（包含边界），则动点的轨迹长度是（ ）
A． B． C． D．
【课后练习】
1．（多选题）（海南省海口市北京师范大学海口附属学校12月月考）如图，已知正方体的棱长为的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列结论正确的是( )
A．若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线
B．若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为
C．若与所成的角为，则的轨迹为双曲线
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D．若与平面所成的角为，则的轨迹为椭圆
2.（多选题）（广东省六校高三上学期第三次联考数学试题）如图的正方体中，棱长为2，点是棱的中点，（ ）
A．侧面上不存在点，使得
B．点到面的距离与点到面的距离之比为
C．若点满足平面，则动点的轨迹长度为
D．若点到点的距离为，则动点的轨迹长度为
3.（多选题）（全国著名重点中学领航高考冲刺试卷（六））如图，在正方体中，E为的中点，点F在线段上运动，G为底面ABCD内一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则点G在线段AC上
C．当点F从A向运动时，三棱锥的体积由小变大
D．若，GE与底面ABCD所成角相等，则动点G的轨迹为圆的一部分
4.（吉林省梅河口市第五中学第一次月考）在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（
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）
A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为
C．点的轨迹是平行四边形 D．点轨迹的长度为
5.（广东省深圳市平冈高级中学高三上学期9月第一次月考）如图所示，在棱长为a的正方体ABCD -A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，则F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度是（ ）
A．a B． C． D．
6.（湖南省永州市高三上学期第一次适应性考试）已知在三棱锥中，为线段的中点，点在(含边界位置)内，则满足平面的点的轨迹为（ ）
A．线段，的中点连接而成的线段
B．线段的中点与线段靠近点的三等分点连接而成的线段
C．线段的中点与线段靠近点的三等分点连接而成的线段