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河南省商丘市冯桥中学2020-2021学年高三数学文期末试卷含解析.docx

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一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的图象向左平移个单位后,得到函数的图象,则的解析式为              (     )
A.            B.           C.         D.
参考答案:
A
2. 设集合,则等于 (     )
(A)      (B)       (C)        (D)
参考答案:
 
3. 双曲线的实轴长是
(A)2             (B)        (C) 4          (D) 4
参考答案:
C 
本题主要考查双曲线的标准方程和简单几何性质,属简单题.
双曲线方程可变为,所以,.故选C.
4. (09年宜昌一中12月月考文)若函数的反函数为,则的值为 (    )
A.               B.  C.              D.
参考答案:
D
5. 已知函数f(x)是定义在R上的最小正周期为3的奇函数,当x∈(﹣,0),f(x)=log2(1﹣x),则f+f+f+f=(     )
A.0 B.1 C.﹣1 D.2
参考答案:
C
【考点】函数的周期性.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】先利用函数的周期性及奇偶性,把自变量转化到区间x∈(﹣,0),即可求出函数的值.
【解答】解:∵函数f(x)是定义在R上的最小正周期为3,
∴f+f+f+f
=f(670×3+1)+f(671×3﹣1)+f(671×3)+f(671×3+1)
=2f(1)+f(﹣1)+f(0),
又已知函数f(x)是定义在R上奇函数,∴f(0)=0,f(﹣1)=﹣f(1),
又∵当x∈(﹣,0),f(x)=log2(1﹣x),
∴f(﹣1)=log2[1﹣(﹣1)]=log22=1,∴f(1)=﹣1,
∴f+f+f+f
=2×(﹣1)+1+0=﹣1.
故选C.
【点评】本题综合考查了函数的奇偶性及周期性,准确理解函数的奇偶性及周期性的定义是解决问题的关键.
6. 设a,b∈R,则“a>0,b>0,,是“”的
  A.充分不必要条件  B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
D

7. 已知满足线性约束条件,若,,则的最大值是(     )
A.             B.               C.               D.
参考答案:
C
8. 已知R为实数集,集合A={x|x2﹣2x≥0},B={x|x>1},则(?RA)∩B=(  )
A.(0,1) B.(0,1] C.(1,2) D.(1,2]
参考答案:
C
【分析】求出集合A,B,从而CRA,由此能求出(?RA)∩B.
【解答】解:∵R为实数集,集合A={x|x2﹣2x≥0}={x|x≤0或x≥2},B={x|x>1},
∴CRA={x|0<x<2},
∴(?RA)∩B={x|1<x<2}=(1,2).
故选:C.
【点评】本题考查补集、交集的求法,考查推理论证能力、运算求解能力,考查转化化归思想,是基础题.
9. 执行如图所示的程序框图,当输出值为4时,输入的值为
A.2               B.                     
C.-2或-3       D.2或-3
参考答案:
D
10. 毕业临近,5位同学按顺序站成一排合影留念,其中2位女同学,3位男同学,则女生甲不站两端,3位男同学有且只有2位相邻的排法总数有(  )种.
A.24 B.36 C.48 D.60
参考答案:
C
【考点】排列、组合的实际应用.
【分析】从3名男生中任取2人看做一个元素,剩下一名男生记作B,两名女生分别记作甲、乙,则女生甲必须在A、B之间,最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙.
【解答】解:从3名男生中任取2人“捆”在一起记作A,
A共有C32A22=6种不同排法,
剩下一名男生记作B,两名女生分别记作甲、乙;
则女生甲必须在A、B之间
此时共有6×2=12种排法(A左B右和A右B左)
最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙,
∴共有12×4=48种不同排法.
故选C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知(,),则的最大值为          .
参考答案:
0
12. 我校开展“爱我河南,爱我方城”摄影比赛,9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示,记分员在去掉一个最高分和一个最低分后,计算的平均分为91,复核员在复核时,发现一个数字(茎叶图中的x)无法看清,若记分员计算无误,则数字x应该是  .
参考答案:
1
【考点】茎叶图. 
【专题】概率与统计.
【分析】由题意,得到作品A的所有成绩,由平均数公式得到关于x的等式解之.
【解答】解:由题意,作品A去掉一个最高分和一个最低分后,得到的数据为89,89,92,93,90+x,92,91,
由平均数公式得到=91,解得x=1;
故答案为:1.
【点评】本题考查了茎叶图以及平均数公式的运用;关键是由茎叶图得到正确信息,运用平均数公式计算.属于基础题.
13. (4分)(2015?嘉兴一模)M是抛物线y2=4x上一点,F是焦点,且MF=4.过点M作准线l的垂线,垂足为K,则三角形MFK的面积为  .
参考答案:
【考点】: 抛物线的简单性质.
【专题】: 圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】: 如图所示,F(1,0).设M(x0,y0),利用抛物线的定义可得|MF|=|MK|=x0+1=4,解得x0,代入抛物线方程y0,利用三角形MFK的面积S=即可得出.
解:如图所示,F(1,0).
设M(x0,y0),
∵|MF|=4,∴4=|MK|=x0+1,
解得x0=3,
代入抛物线方程可得=4×3,
解得,
∴三角形MFK的面积S===4.
故答案为:4.
【点评】: 本题考查了抛物线的定义及其性质、三角形的面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
14. 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为,
的值为          
参考答案:
-1
15. 在等比数列中,若,,则   ▲     
参考答案:
8
16. 的最小值是            
参考答案:
答案: 
17. 定义:如果函数在定义域内给定区间上存在,满足,则称函数是上的“平均值函数”,是它的一个均值点,如是
上的平均值函数,0就是它的均值点.现有函数是上的平均值函数,则实数的取值范围是             .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某高中毕业学年,在高校自主招生期间,把学生的平时成绩按“百分制”折算,排出前n名学生,并对这n名学生按成绩分组,第一组[75,80),第二组[80,85),第三组[85,90),第四组[90,95),第五组[95,100],如图为频率分布直方图的一部分,其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列,且第四组的人数为60.
(Ⅰ)请在图中补全频率分布直方图;
(Ⅱ)若Q大学决定在成绩高的第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试.
①若Q大学本次面试中有B、C、D三位考官,规定获得两位考官的认可即面试成功,且面试结果相互独立,已知甲同学已经被抽中,并且通过这三位考官面试的概率依次为、,,求甲同学面试成功的概率;
②若Q大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B的面试,第3组中有ξ名学生被考官B面试,求ξ的分布列和数学期望.
参考答案:
【考点】离散型随机变量的期望与方差;分层抽样方法;频率分布直方图.
【分析】(Ⅰ)由第四组的人数能求出总人数,由此能补全频率分布直方图.
(Ⅱ)①设事件A=甲同学面试成功,由此利用独立事件概率公式能求出甲同学面试成功的概率.
②由题意得,ξ=0,1,2,3,分别求出其概率,由此能求出ξ的分布列和数学期望.
【解答】解:(Ⅰ)∵第四组的人数为60,
∴总人数为:5×60=300,
由直方图可知,第五组人数为:×5×300=30人,
又为公差,
∴第一组人数为:45人,第二组人数为:75人,第三组人数为:90人
(Ⅱ)①设事件A=甲同学面试成功,
则P(A)=…..
②由题意得,ξ=0,1,2,3,




分布列为:
ξ
0
1
2
3
P
…..
19. 已知函数f(x)=x2﹣x+alnx,a∈R.
(Ⅰ)若函数f(x)为定义域上的单调函数,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)当0<α<时,函数f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1<x2.证明:>﹣﹣ln3.
参考答案:
【考点】6D:利用导数研究函数的极值;6B:利用导数研究函数的单调性.
【分析】(Ⅰ)求导,由题意可知:数f(x)(0,+∞)上的单调函数,则二次函数x2﹣x+a≥0恒成立,则需要△=1﹣4a≤0,即可求得实数a的取值范围;
(Ⅱ)由函数由极值,利用韦达定理求得,化简,构造辅助函数,求导,根据函数的单调性求得的最值,即可证明>﹣﹣ln3.
【解答】解:(Ⅰ)由f(x)=x2﹣x+alnx,(0,+∞),求导f′(x)=x﹣1+=,x>0,
当△=1﹣4a≤0时,即a≥,则x2﹣x+a≥0恒成立,则f(x)在(0,+∞)上单调递增函数,
当△=1﹣4a>0时,即a<则,两个实根x1=,x2=,
∴当x∈(,x2),f′(x)<0,函数单调递减,当x∈(x2,+∞),f′(x)>0,函数单调递增,
∴函数f(x)为定义域上的不是单调函数,
综上可知:实数a的取值范围[,+∞);
(Ⅱ)由函数f(x)有两个极值点,则f′(x)=0,在x>0有两个不等的实根,
则x2﹣x+a=0有两个不相等的实根x1,x2,
则△=1﹣4a>0时,即a<则,且,
由0<α<,则0<x1(1﹣x1)<,解得:x1∈(0,),
则===+x1lnx1,
由x∈(0,),令g(x)=+xlnx,
h(x)=,m(x)=xlnx,
求导h′(x)=﹣﹣<0,m′(x)=1+lnx,x∈(0,),m′(x)<0,
而<,故m′(x)<0,x∈(0,)上恒成立,
∴g′(x)=h′(x)+m′(x)<0,在x∈(0,),恒成立,
g(x)在(0,)上单调递减,
∴g(x)>g()=﹣﹣lnx,
∴>﹣﹣ln3.
【点评】本题考查导数的综合应用,考查函数单调性及最值与导数的关系,考查一元二次方程根与系数的关系,二次函数恒成立,考查转化思想,属于中档题.
20. (本题满分12分)
已知向量,,函数  
(1)求的单调递增区间;
(2)若不等式都成立,求实数m的最大值.
参考答案:
21. (本小题满分13分)
已知函数,,令.
(Ⅰ)当时,求的极值;
(Ⅱ)当时,求的单调区间;
(Ⅲ)当时,若对,使得恒成立, 求的取值范围.
参考答案:
解 (I)由题意知f(x)的定义域为(0,+∞),
且f′(x)=+=.    ………………………………………………2分
∵a>0,∴f′(x)>0,
故f (x)在(0,+∞)上是单调递增函数.   ………………………………4分
(II)由(I)可知,f′(x)=.
①若a≥-1,则x+a≥0,即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立,
此时f(x)在[1,e]上为增函数,
∴f(x)min=f(1)=-a=,∴a=-(舍去).   ………………………5分
②若a≤-e,则x+a≤0,即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立,
此时f(x)在[1,e]上为减函数,
∴f(x)min=f(e)=1-=,∴a=-(舍去).  ………………………6分
③若-e<a<-1,令f′(x)=0得x=-a,
当1<x<-a时,f′(x)<0,∴f(x)在(1,-a)上为减函数;
当-a<x<e时,f′(x)>0,∴f(x)在(-a,e)上为增函数,
∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=,∴a=-.
综上所述,a=-.       ………………………………………………8分
(Ⅲ)∵f(x)<x2,∴ln x-<x2.
又x>0,∴a>xln x-x3.    ………………………………………………9分
令g(x)=xln x-x3,h(x)=g′(x)=1+ln x-3x2,…………………10分
h′(x)=-6x=.
∵x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,
∴h(x)在(1,+∞)上是减函数.
∴h(x)<h(1)=-2<0,即g′(x)<0,    ………………………………12分 
∴g(x)在(1,+∞)上也是减函数.
g(x)<g(1)=-1,
∴当a≥-1时,f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立.…………………………13分
 
 
 

22. 如果,在中,,,,是内的一点.
(1)若是等腰直角三角形的直角顶点,求的长;
(2)若,设,求的面积的解析式,并求的最大值.
参考答案:

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