江西省宜春市仰山中学高三数学文下学期期末试题含解析.docx

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江西省宜春市仰山中学高三数学文下学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设是第二象限角,为其终边上的一点,且,则=（   ）   
   A.              B.               C.            D. 
参考答案：
D
因为是第二象限角，所以，即。又，解得，所以，选D.
2. 把分别标有数字1,2,3,4,5,6的六个不同小球放入甲、乙、丙三个盒子中，要求每个盒子放入两个小球，1号球不能放入甲盒子，（  ）
A．24          B.  30       C.  36         D.  42
参考答案：
D
3. 若x≥0，y≥0，且x+2y=1，则2x+3y2的最小值是（　　）
A．2 B． C． D．0
参考答案：
B
【考点】二次函数在闭区间上的最值．
【分析】由题设条件x≥0，y≥0，且x+2y=1，可得x=1﹣2y≥0，从而消去x，将2x+3y2表示成y的函数，由函数的性质求出最小值得出答案
【解答】解：由题意x≥0，y≥0，且x+2y=1
∴x=1﹣2y≥0，得y≤，即0≤y≤
∴2x+3y2=3y2﹣4y+2=3（y﹣）2+，
又0≤y≤，y越大函数取到的值越小，
∴当y=时，函数取到最小值为
故选B
4. 设f（x）是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（　　）
A．f（x）f（﹣x）是奇函数 B．f（x）|f（﹣x）|是奇函数
C．f（x）﹣f（﹣x）是偶函数 D．f（x）+f（﹣x）是偶函数
参考答案：
D
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】令题中选项分别为F（x），然后根据奇偶函数的定义即可得到答案．
【解答】解：A中令F（x）=f（x）f（﹣x），则F（﹣x）=f（﹣x）f（x）=F（x），
即函数F（x）=f（x）f（﹣x）为偶函数，
B中F（x）=f（x）|f（﹣x）|，F（﹣x）=f（﹣x）|f（x）|，因f（x）为任意函数，故此时F（x）与F（﹣x）的关系不能确定，即函数F（x）=f（x）|f（﹣x）|的奇偶性不确定，
C中令F（x）=f（x）﹣f（﹣x），令F（﹣x）=f（﹣x）﹣f（x）=﹣F（x），即函数F（x）=f（x）﹣f（﹣x）为奇函数，
D中F（x）=f（x）+f（﹣x），F（﹣x）=f（﹣x）+f（x）=F（x），即函数F（x）=f（x）+f（﹣x）为偶函数，
故选D．
【点评】本题考查了函数的定义和函数的奇偶性的判断，同时考查了函数的运算．
5. 命题：对任意，的否定是(  )
A．：存在,            B．：存在,
C．：不存在,          D．：对任意，
参考答案：
A
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6. 已知直线 是曲线的一条切线，则m的值为（   ）
A. 0 B. 2 C. 1 D. 3
参考答案：
B
【分析】
根据切线的斜率的几何意义可知，求出切点，代入切线即可求出.
【详解】设切点为
因为切线，
所以，
解得（舍去）
代入曲线得，
所以切点为(1,1)
代入切线方程可得，解得.
故选B.
【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，函数的切线方程，属于中档题.
7. 已知函数，若，则a=                 （    ）
    A．4                 B．2                C．1               D．－1
参考答案：
A
8. 设集合，C={（x，y）|2|x﹣3|+|y﹣4|=λ}，若（A∪B）∩C≠?，则实数λ的取值范围是（　　）
A．    B．
C．        D．
参考答案：
A
【考点】1H：交、并、补集的混合运算．
【分析】集合A、B是表示以（3，4）点为圆心，半径为和的同心圆；集合C在λ＞0时表示以（3，4）为中心，四条边的斜率为±2的菱形；
结合题意画出图形，利用图形知（A∪B）∩C≠?，是菱形与A或B圆有交点，从而求得实数λ的取值范围．
【解答】解：集合A={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=}表示以（3，4）点为圆心，半径为的圆；
集合B={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=}表示以（3，4）点为圆心半径为的圆；
集合C={（x，y）|2|x﹣3|+|y﹣4|=λ}在λ＞0时，表示以（3，4）为中心，四条边的斜率为±2的菱形，
如下图所示：
若（A∪B）∩C≠?，则菱形与A或B圆有交点，
当λ＜时，菱形在小圆的内部，与两圆均无交点，不满足答案；
当菱形与小圆相切时，圆心（3，4）到菱形2|x﹣3|+|y﹣4|=λ任一边的距离等于大于半径，
当x＞3，且y＞4时，菱形一边的方程可化为2x+y﹣（10+λ）=0，
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由d==得：λ=2；
当2＜λ＜时，菱形在大圆的内部，与两圆均无交点，不满足答案；
当菱形与大圆相切时，圆心（3，4）到菱形2|x﹣3|+|y﹣4|=λ任一边的距离等于大于半径，
当x＞3，且y＞4时，菱形一边的方程可化为2x+y﹣（10+λ）=0，
由d==得：λ=6，
故λ＞6时，两圆均在菱形内部，与菱形无交点，不满足答案；
综上实数λ的取值范围是[，2]∪[，6]，即[，2]∪[，6]．
故选：A．
9. 已知m∈R，“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=logmx在（0，+∞）上为减函数”的(     )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据函数的性质求出m的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若函数y=f（x）=2x+m﹣1有零点，则f（0）=1+m﹣1=m＜1，
当m≤0时，函数y=logmx在（0，+∞）上为减函数不成立，即充分性不成立，
若y=logmx在（0，+∞）上为减函数，则0＜m＜1，此时函数y=2x+m﹣1有零点成立，即必要性成立，[来源:]
故“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=logmx在（0，+∞）上为减函数”的必要不充分条件，
故选：B
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数零点和对数函数的性质求出等价条件是解决本题的关键．
10. 已知数列｛｝满足，，则其前6项之和是(   )
                  
参考答案：
C
，，，所以,选C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 定义：，在区域内任取一点，则x、y满足的概率为___________．
参考答案：
 
12. 设，，，则A∩B=________.
参考答案：
(0,1)
【分析】
先根据指数函数的性质求出集合B，再进行集合运算即可．
【详解】由在R上为增函数，所以，
∴＝{x|x<1}，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查集合的交集的运算，考查指数函数性质的应用，是一道基础题．
13. 若的展开式中第3项的系数为        。
参考答案：
6
14. 已知等差数列的前n项和为则数列的前100项和为________.
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参考答案：
∵等差数列，，，
∴，
∴，
∴数列的前和为.
15. 执行右侧的程序框图,输出的结果S的值为        ．
参考答案：
由程序框图可知，这是求的程序。在一个周期内，所以。
16. 已知向量||=，||=2，且?（﹣）=0，则﹣的模等于　    　．
参考答案：
1
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据平面向量的数量积运算与模长公式，求出?=3，再求的值，即可得出|﹣|的值．
【解答】解：向量||=，||=2，且?（﹣）=0，
∴﹣?=3﹣?=0，
∴?=3；
∴=﹣2?+=3﹣2×3+22=1，
∴|﹣|=1．
故答案为：1．
17. 复数的共轭复数是_________。
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
如图，四棱锥中，底面是直角梯形，平面，//，，分别为的中点，.
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.
参考答案：
【知识点】空间中的平行关系空间中的垂直关系G4 G5
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【答案解析】（Ⅰ）略（2）
（Ⅰ）证明：设BD∩OC=F，连接EF，
∵E、F分别是PC、OC的中点，则EF∥PO，
∵CD⊥平面PAD，CD平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD，
又PA=PD，O为AD的中点，则PO⊥AD，
∵平面ABCD∩平面PAFD=AD，∴PO⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD，
又AB平面ABCD，∴AB⊥EF，
在△ABD中，AB2+BD2=AD2，AB⊥BD，
又EF∩BD=F，∴AB⊥平面BED，
又DE平面BED，∴AB⊥DE．
（Ⅱ）解：在平面ABCD内过点A作AH⊥CO交CO的延长线于H，
连接HE，AE，
∵PO⊥平面ABCD，∴POC⊥平面ABCD，
平面POC∩平面ABCD=AH，∴AH⊥平面POC，
PC平面POC，∴AH⊥PC．
在△APC中，AP=AC，E是PC中点，∴AE⊥PC，
∴PC⊥平面AHE，则PC⊥HE．
∴∠AEH是二面角A-PC-O的平面角．
设PO=AD=2BC=2CD=2，
而AE2=AC2-EC2，
AE=，AH=，则sin∠AEH=，
∴二面角A-PC-O的余弦值为．
【思路点拨】（Ⅰ）设BD∩OC=F，连接EF，由已知条件推导出EF∥PO，平面ABCD⊥平面PAD，PO⊥平面ABCD，从而得到EF⊥平面ABCD，进而得到AB⊥EF，再由AB⊥BD，能证明AB⊥平面BED，由此得到AB⊥DE．
（Ⅱ）在平面ABCD内过点A作AH⊥CO交CO的延长线于H，连接HE，AE，由已知条件推导出∠AEH是二面角A-PC-O的平面角．由此能求出二面角A-PC-O的余弦值．
19. （本小题满分14分）
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点. 直线交椭圆于不同的两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求的取值范围；
(3)若直线不过点，求证：直线与轴围成一个等腰三角形.
参考答案：
(1)      （2）        （3）见解析
(1) 由已知椭圆焦点在轴上可设椭圆的方程为，（）
因为，所以，                                ①
又因为过点，所以，                       ②
联立①②解得，故椭圆方程为.         ………………4分
(2) 将代入并整理得，
因为直线与椭圆有两个交点，
所以，解得.        ………………8分
(3) 设直线的斜率分别为和，只要证明即可.
设，，
则.                           ………………10分
所以
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所以，所以直线与轴围成一个等腰三角形．    ………………14分
20. 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AA1⊥底面ABCD，AB＝2，AA1＝BC＝4，∠ABC＝60°，点E为BC中点，点F为B1C1中点．
(1)求证：平面A1ED⊥平面A1AEF；
(2)设二面角A1-ED-A的大小为α，直线AD与平面A1ED所成的角为β，求sin(α＋β)的值．
参考答案：
(1)略       (2) 1
略
21. (12分)某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：
 
学历
35岁以下
35～50岁
50岁以上
本科
80
30
20
研究生
20
(1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；(8分)
(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求，的值．(4分)
参考答案：
解：(1)用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，
设抽取学历为本科的人数为，
∴ ，解得＝3.             ……………………………  3分
∴ 抽取了学历为研究生2人，学历为本科3人，分别记作,.
从中任取2人的所有基本事件共10个：
, ,,,,,
,,                  ……………………………  5分
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：, ,,,,,．………………………  7分
∴从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为. ……………………………  8分
(2)依题意得：,解得             …………………………  10分
∴35～50岁中被抽取的人数为.…………………………  11分
∴                  ………………………  13分
解得，
7 / 7
∴，                         ……………………  14分
22. （本题满分14分）
已知函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2ln x(a∈R)．
(1)若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)设g(x)＝x2－2x，若对任意x1∈(0，2]，均存在x2∈(0，2]，使得f(x1)＜g(x2)，求a的取值范围．
参考答案：
所以2ln a＞－2，即－2ln a＜2，所以，－2－2ln a＜0，-----------------13分
所以f(x)max＜0，综上所述，a＞ln 2－1. -----------------14分
【考点】导数的综合应用，分类讨论