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一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. △ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则△ABC面积的最大值为（ ）
A. B. 2 C. D.
参考答案：
A
【分析】
通过正弦定理化简表达式，利用余弦定理求出的大小，再利用余弦定理及均值不等式求出的最大值，从而求得三角形面积的最大值．
【详解】∵，
由正弦定理得，
即；
由余弦定理得，
结合，得；
又，
由余弦定理可得，当且仅当等号成立，
∴，即面积的最大值为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正余弦定理，三角形面积公式，基本不等式，，如果题设条件是边角的混合关系，.
2. 当时,函数的图象恒过定点，已知函数 ，若有两个零点，则k的取值范围为（    ）
A. (－∞,－4] B. [－3,+∞)
C. [－4,－3] D.(－3, +∞)∪{－4}
参考答案：
D
【分析】
利用1的对数为0，求出定点，做出的图象，转化为与有两个交点时，的取值范围.
【详解】恒过，
，做出图象如下图示：
可得当时，与有两个交点，
即有两个零点，则的取值范围为.
故选:D.
【点睛】本题考查分段函数、函数的零点，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.
3. 如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下降的距离，则H与下降时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是                         （  ）
A． B．   C．   D．
参考答案：
B
4. 已知则向量在向量上的投影等于（    ）
A．          B．         C．        D．
参考答案：
A 
5. 图l是某县参加2011年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为、、…、(如表示身高(单位：)在[150，155)内的学生人数)．图2是统计图l中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180(含160，不含180)
的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（     ）
A．       B．       C．       D．
 
 
 
      
 
 
 
 
 
 
 
参考答案：
B
略
6. 将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是                                                       （ ）
A. y=2cos2x              B. y=2sin2x    C.           D. y=cos2x
参考答案：
A
7. 已知角的终边经过点P(4，－3)，则的值等于(  ★  )
A．           B．          C．            D．
参考答案：
C
略
8. 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是，若，，则A=                        （▲） w_w w.
 
A.            B.           C.           D.
参考答案：
A
略
9. 在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于（   ）
A． 30°   B．45° C．60°     D．120°
参考答案：
C
10. 已知奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈（0，1）时，函数f（x）=2x，则=（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
B
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】由函数是奇函数得到f（﹣x）=﹣f（x）和f（x+2）=f（x）把则进行变形得到﹣f（），由∈（0，1）满足f（x）=2x，求出即可．
【解答】解：根据对数函数的图象可知＜0，且=﹣log223；
奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x）和f（﹣x）=﹣f（x）
则=f（﹣log223）=﹣f（log223）=﹣f（log223﹣4）=﹣f（），
因为∈（0，1）
∴﹣f（）==，
故选：B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：
（1）T={f（x）|x∈S}；
（2）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2）．
那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下4对集合：
①S={0，1，2}，T={2，3}；
②S=N，T=N*；
③S={x|﹣1＜x＜3}，T={x|﹣8＜x＜10}；
④S={x|0＜x＜1}，T=R．
其中，“保序同构”的集合对的序号是      （写出所有“保序同构”的集合对的序号）．
参考答案：
②③④
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【专题】转化思想；函数的性质及应用．
【分析】利用：两个集合“保序同构”的定义，能够找出存在一个从S到T的函数y=f（x）即可判断出结论．
【解答】解：①由于不存在一个从S到T的函数y=f（x），因此不是“保序同构”的集合对．
②令f（x）=x+1，x∈S=N，f（x）∈T；
③取f（x）=x﹣，x∈S，f（x）∈T，“保序同构”的集合对；
④取f（x）=tan，x∈S，f（x）∈T．
综上可得：“保序同构”的集合对的序号是②③④．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了两个集合“保序同构”的定义、函数的解析式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12. 给出下列命题：①函数图象的一条对称轴是
②在同一坐标系中，函数与的交点个数为3个；
③将函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象；
④存在实数，使得等式成立；
其中正确的命题为                （写出所有正确命题的序号）．
参考答案：
①②
略
13. 计算：           
参考答案：
4
14. 函数的最大值与最小值之和等于        ．
参考答案：
2
15. 函数的定义域是     .
参考答案：
16. 关于x的不等式的解集为全体实数，则实数a的取值范围是_________________；
参考答案：
-4<a≤0
17. 若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是________．
参考答案：
(－∞，40]∪[64，＋∞)
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知数列的前项和，且是2与的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
参考答案：
（Ⅰ）∵an是2与Sn的等差中项，
∴2an＝2＋Sn， ①
∴2an－1＝2＋Sn－1，(n≥2) ②
①－②得，2an－2an－1＝Sn－Sn－1＝an，
即＝2(n≥2)．
在①式中，令n＝1得，a1＝2．
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴an＝2n．
（Ⅱ）bn＝＝．
所以Tn＝＋＋＋…＋＋， ①
则Tn＝＋＋＋…＋＋， ②
①－②得，
Tn＝＋＋＋＋…＋－
＝＋2(＋＋＋…＋)－
＝＋2×－
＝－．
所以Tn＝3－．
19. 已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点（4，﹣）．
（1）求双曲线方程；
（2）若点M（3，m）在此双曲线上，求?．
参考答案：
【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）设双曲线方程为x2﹣y2=λ，λ≠0，由双曲线过点（4，﹣），能求出双曲线方程．
（2）由点M（3，m）在此双曲线上，得m=．由此能求出?的值．
【解答】解：（1）∵双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，
∴设双曲线方程为x2﹣y2=λ，λ≠0，
∵双曲线过点（4，﹣），
∴16﹣10=λ，即λ=6，
∴双曲线方程为=1．
（2）∵点M（3，m）在此双曲线上，
∴=1，
解得m=．
∴M（3，），或M（3，﹣），
∵F1（﹣2，0），，
∴当M（3，）时， =（﹣2﹣3，﹣），=（，﹣），
?=﹣12﹣6=0；
当M（3，﹣）时， =（﹣2﹣3，），=（，），
?=﹣12﹣6+6+9+3=0．
故?=0．
【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查向量的数量积的求法，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．
20. （12分）已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2弧度．
（1）求这个圆心角所对的弧长；
（2）求这个扇形的面积．
参考答案：
考点： 弧长公式；扇形面积公式．
专题： 三角函数的求值．
分析： （1）由扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2弧度．可得半径r=，利用弧长公式即可得出；
（2）利用扇形的面积计算公式即可得出．
解答： 解：（1）∵扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2弧度．
∴半径r=，∴这个圆心角所对的弧长==；
（2）S==．
点评： 本题考查了弧长与扇形的面积计算公式，属于基础题．
21. 设全集U=R，集合A=．
（1）求集合B；
（2）若A?（?UB），求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】并集及其运算．
【分析】（1）利用分式不等式的性质能求出集合B．
（2）由A={x|a﹣1＜x＜a+1}，CUB={x|2≤x＜5}，A?（?UB），能求出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵全集U=R，集合A=．
∴集合B={x|}={x|x＜2或x≥5}．
（2）∵A={x|a﹣1＜x＜a+1}，CUB={x|2≤x＜5}，A?（?UB），
∴，解得3≤a≤4．
∴实数a的取值范围是[3，4]．
22. 设a为正实数，记函数f（x）=a﹣﹣的最大值为g（a）．
（1）设t=+，试把f（x）表示为t的函数m（t）；
（2）求g（a）；
（3）问是否存在大于的正实数a满足g（a）=g（）？若存在，求出所有满足条件的a值；若不存在，说明理由．
参考答案：
【考点】函数与方程的综合运用；函数最值的应用．
【专题】综合题；函数的性质及应用．
【分析】（1）由t=+平方得=t2﹣1，从而将函数f（x）换元为m（t），而m（t）的定义域即t=+的值域，平方后求其值域即可；
（2）由（1）知，通过讨论对称轴的位置可得最大值关于a的函数g（a）；
（3）假设存在大于的正实数a满足g（a）=g（），分类讨论，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意得，∴﹣1≤x≤1，∴函数f（x）的定义域为[﹣1，1]．
t=+，由x∈[﹣1，1]得，t2∈[2，4]，所以t的取值范围是[，2]．
又=t2﹣1，∴m（t）=at2﹣t﹣a，t∈[，2]；
（2）由题意知g（a）即为函数m（t）=at2﹣t﹣a，t∈[，2]的最大值．
注意到直线t=是抛物线m（t）=at2﹣t﹣a的对称轴，分以下几种情况讨论：
①≤，即a≥知m（t）=at2﹣t﹣a在[，2]上单调递增，∴g（a）=m（2）=a﹣2．
②当＜＜2时，＜a＜，g（a）=m（）=﹣﹣a．
③当≥2，即0＜a≤时，g（a）=m（）=﹣
∴g（a）=；
（3）由（2）可得g（）=．
假设存在大于的正实数a满足g（a）=g（），则
＜a＜2时，a﹣2=﹣﹣，方程无解；
a≥2时，a﹣2=﹣，a=2﹣＜2，不符合．
综上所述，不存在大于的正实数a满足g（a）=g（）．
【点评】本题考查了求函数定义域的方法以及利用换元法求函数值域的方法，解题时要注意换元后函数的定义域的变化．