江西省九江市县第三中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析.docx

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一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 抛物线M的顶点是坐标原点O，抛物线M的焦点F在x轴正半轴上，抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，设A是抛物线M上的一点，若?=﹣4，则点A的坐标是（　　）
A．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2） B．（1，2）或（1，﹣2） C．（1，2） D．（1，﹣2）
参考答案：
B
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先求出抛物线的焦点F（1，0），根据抛物线的方程设A（，y0），则=（，y0），=（1﹣，﹣y0），再由?=﹣4，可求得y0的值，最后可得答案．
【解答】解：x2+y2﹣6x+4y﹣3=0，可化为（x﹣3）2+（y+2）2=16，圆心坐标为（3，﹣2），半径为4，
∵抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，
∴3+=4，∴p=2．
∴F（1，0），
设A（，y0）
则=（，y0），=（1﹣，﹣y0），
由?=﹣4，∴y0=±2，∴A（1，±2）
故选B．
2. 某班在5男生4女生中选择4人参加演讲比赛，选中的4人中有男有女，且男生甲和女生乙最少选中一个，则不同的选择方法有
     A．91种                  B．90种                   C．89种                   D．86种
参考答案：
D
略
3. 存在直线与双曲线相交于A、B、C、D四点，若四边形ABCD为正方形，则双曲线离心率的取值范围为.
  A．         B．         C．         D．
参考答案：
A
4. 设等差数列的前项和为，点在直线上，则
A．4034      B．2017       C．1008     D．1010
参考答案：
B
5. 已知，若的必要条件是，则之间的关系是（   ）
A．      B．     C．      D．
参考答案：
B
试题分析：，即，按题意，因此．故选B．
考点：必要条件．
6. 若复数为纯虚数（i为虚数单位），则实数m等于（　　）
A．﹣1 B． C． D．1
参考答案：
D
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0列式求得m值．
【解答】解：∵为纯虚数，
∴，得m=1．
故选：D．
7. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，，则△ABC的面积为（    ）
A. 2 B. C. 4 D.
参考答案：
B
【分析】
由正弦定理化简得，再由余弦定理得，进而得到，利用余弦定理，列出方程求得，最后结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】在△ABC中，，
由正弦定理，可得，即，
又由余弦定理可得，可得，
因为，，
由余弦定理，可得，即，
即，解得，
所以三角形的面积为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
8. 等差数列中,若,则的值为（   ）
A．180 B．240 C．360 D．720
参考答案：
C
略
9. 数列的前项和为，已知，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的最小值为（    ）
A         B         C        D
参考答案：
A
略
10. 已知向量若函数在区间上存在增区间，则实数t的取值范围为                                                     （    ）
A.       B.       C.         D.
参考答案：
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （5分）如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=　　．
参考答案：
2
【考点】： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数的值．
【专题】： 计算题；三角函数的图像与性质．
【分析】： 由函数图象经过点（0，1），代入解析式得sinφ=，解出φ=．根据A、B两点之间的距离为5，由勾股定理解出横坐标的差为3，得函数的周期T=6，由此算出ω=，得出函数的解析式，从而求出f（﹣1）的值．
解：∵函数图象经过点（0，1），∴f（0）=2sinφ=1，可得sinφ=，
又∵≤φ≤π，∴φ=．
∵其中A、B两点的纵坐标分别为2、﹣2，
∴设A、B的横坐标之差为d，则|AB|==5，解之得d=3，
由此可得函数的周期T=6，得=6，解之得ω=．
∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（x+），
可得f（﹣1）=2sin（﹣+）=2sin=2．
故答案为：2
【点评】： 本题给出正弦型三角函数的图象，确定其解析式并求f（﹣1）的值．着重考查了勾股定理、由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识，属于中档题．
12. 双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（    ）
               B.              C.             
参考答案：
B
13. 求和：=　　．（n∈N*）
参考答案：
4n﹣1
考点：
二项式定理．
专题：
计算题．
分析：
把所给的式子变形为 +﹣1，再利用二项式定理可得结果．
解答：
解：∵=+﹣1=（1+3）n﹣1=4n﹣1，
故答案为 4n﹣1．
点评：
本题主要考查二项式定理的应用，把所给的式子变形后利用二项式定理，是解题的关键，属于中档题．
14. 如右图，是半圆的直径，点在半圆上，，垂足为，且,设，则            ．
参考答案：
设圆的半径为，因为，所以，即，所以,,,由相交弦定理可得,所以，所以
.
15. （5分）若双曲线=1（a＞0，b＞0）截抛物线y2=4x的准线所得线段长为b，则a=　．
参考答案：
【考点】： 双曲线的简单性质．
【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】： 求得抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，代入双曲线方程，求得弦长，解方程，即可得到a．
解：抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，
代入双曲线=1，可得
y=±b，
由题意可得，b=2b，
解得a=．
故答案为：．
【点评】： 本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查抛物线的准线的运用，考查运算能力，属于基础题．
16. 已知向量，满足，，且在方向上的投影是，则实数m =__________
参考答案：
±2
【分析】
利用向量投影的计算公式可得关于的方程，其解即为所求的的值.
【详解】在方向上的投影为，解得，
故答案为：.
【点睛】本题考查在方向上的投影，其计算公式为，本题属于基础题.
17. （几何证明选讲选做题）
极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为       ．
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分14分）
已知，设函数  
2,4,6
 
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）当时，求的值域.
参考答案：
解：（1）    
     ∴的最小正周期为                      …………4分
由得
的单调增区间为   …………8分
（2）由（1）知
又当    故  
从而 的值域为                    ………14分
本试题主要是考查了三角函数的图像与性质的运用。
（1）将函数化简为单一函数，   ，然后运用周期公式得到结论。
（2）由（1）知，结合定义域求解得到，根据函数图像得到结论。
19. （14分）已知由整数组成的数列{an}各项均不为0，其前n项和为Sn，且a1=a，2Sn=anan+1．
（1）求a2的值；
（2）求{an}的通项公式；
（3）若n=15时，Sn取得最小值，求a的值．
参考答案：
【考点】数列递推式；数列的求和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（1）由已知得2a1=a1a2，由此能求出a2=2．
（2）由2Sn=anan+1，得2Sn﹣1=an﹣1an，n≥2，从而an+1﹣an﹣1=2，由此能利用等差数列的通项公式求出{an}的通项公式．
（3）由（2）得Sn=，从而S15为最小值等价于S13≥S15，S15≤S17，由此结合已知条件能求出a的值．
【解答】解：（1）∵2Sn=anan+1，
∴2S1=a1a2，即2a1=a1a2，
∵a1=a≠0，
∴a2=2．
（2）∵2Sn=anan+1，∴2Sn﹣1=an﹣1an，n≥2，
两式相减，得：2an=an（an+1﹣an﹣1），
∵an≠0，∴an+1﹣an﹣1=2，
∴{a2k﹣1}，{a2k}都是公差为2的等差数列，
当n=2k﹣1，k∈N*时，an=a1+（k﹣1）×2=a+n﹣1，
当n=2k，k∈N*时，an=2+（k﹣1）×2=2k=n．
∴．
（3）∵2Sn=anan+1，，
∴Sn=，
∵所有奇数项构成的数列是一个单调递增数列，所有的偶数项构成的是一个单调递增数列，
∴当n为偶数时，an＞0，∴此时Sn＞Sn﹣1，
∴S15为最小值等价于S13≥S15，S15≤S17，
∴a14+a15≤0，a16+a17≥0，
∴14+15+a﹣1≤0，16+17+a﹣1≥0，
解得﹣32≤a≤﹣28，
∵数列{an}是由整数组成的，∴a∈{﹣32，﹣31，﹣30，﹣29，﹣28}，
∵a≠0，∴对所有的奇数n，an=n+a﹣1≠0，
∴a不能取偶数，∴a=﹣31，或a=﹣29．
【点评】本题考查数列的第二项的值的求法，考查数列的通项公式的求法，考查使得数列的前15项和取得最小值的实数值的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．
20. （本小题满分12分）已知椭圆方程为，射线（x≥0）与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A、B两点（异于M）．
（Ⅰ）求证直线AB的斜率为定值；
（Ⅱ）求△面积的最大值．
参考答案：
（Ⅰ）∵斜率k存在，不妨设k＞0，求出M（，2）．---------------1分
直线MA方程为，
       分别与椭圆方程联立，可解出，-----------------------3分
同理得，直线MB方程为．-------4分
      ∴　，为定值.---------------------- -----------------6分
    （Ⅱ）设直线AB方程为，与联立，消去y得
．----------- Ks5u -----------------------------7分
        由＞0得一4＜m＜4，且m≠0，
点M到AB的距离为．---------------------------------------8分
---9分
设△AMB的面积为S．　∴　．
当时，得．---------------------12分
略
21. （本题14分）如图，矩形和梯形所在平面互相垂直，，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当的长为何值时，二面角的大小为？
参考答案：
【解析】  本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力。满分14分。
方法一：
（Ⅰ）证明：过点作交于，连结，
可得四边形为矩形，又为矩形，
所以，从而四边形为平行四边形，
故．
因为平面，平面，
所以平面．
（Ⅱ）解：过点作交的延长线于，连结．
由平面平面，，得平面，
从而．
所以为二面角的平面角．
在中，因为，，所以，．
又因为，所以，
从而．
于是．
因为，
所以当为时，二面角的大小为．
方法二：如图，
以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，
建立空间直角坐标系．设，
则，，，，．
（Ⅰ）证明：，，，
所以，，从而，，
所以平面．
因为平面，所以平面平面．
故平面．
（Ⅱ）解：因为，，
所以，，从而
解得．
所以，．
设与平面垂直，则，，
解得．
又因为平面，，
所以，得到．
所以当为时，二面角的大小为．
22. （改编）（本小题14分）已知函数
(1)求的单调递增区间;
(2)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
参考答案：
(1) ∵
(2)