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江苏省扬州市江海学院附属中学2020年高三数学文联考试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若随机变量X~B(100, p)，X的数学期望EX=24，则p的值是
   (A)               (B)               (C)             (D)
参考答案：
C
2. 已知三棱锥中，，，若三棱锥的最大体积为，则三棱锥外接球的表面积为
               
参考答案：
C
3. 执行右图所示的程序框图（其中表示不超过的最大整数），则输出的值为（     ）
                                        
参考答案：
4. 设函数，则y=﹣f（x）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
B
【考点】函数的图象．
【分析】根据函数定义域，单调性进行判断．
【解答】解：y=﹣f（x）=﹣+1，
∴函数的定义域为[0，+∞），且在定义域上单调递减，
故选B．
5. 若复数是纯虚数，则实数a的值为  （   ）
A．—4      B．—6       C．5        D．6
参考答案：
D
6. 函数f（x）为R上的可导函数，其导函数为f '（x），且，在△ABC中，f（A）=f'（B）=1，则△ABC的形状为 
A. 等腰锐角三角形 B. 直角三角形
C. 等边三角形 D. 等腰钝角三角形
参考答案：
D
【分析】
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求函数的导数，先求出，然后利用辅助角公式进行化简，求出A，B的大小即可判断三角形的形状．
【详解】函数的导数，
则，
则，则，
则，
，
，
，即，
则，得，
，即，
则，则，
则，
则，
即△ABC是等腰钝角三角形，
故选D．
7. 下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是( )
A．(－∞，1      B．－1，
C．0，)         D．1,2)
参考答案：
D
8. 如图，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得==λ (0<λ<+∞)，记f(λ)=αλ+βλ其中αλ表示EF与AC所成的角，βλ表示EF与BD所成的角，则
      (A) f(λ)在(0，+∞)单调增加    
      (B) f(λ)在(0，+∞)单调减少
      (C) f(λ) 在(0，1)单调增加，而在(1，+∞单调减少
      (D) f(λ)在(0，+∞)为常数
参考答案：
D
解：作EG∥AC交BC于G，连GF，则==，故GF∥BD．故∠GEF=αλ，∠GFE=βλ，但AC⊥BD，故∠EGF=90°．故f(λ)为常数．选D．
9. 对于平面、、和直线、、、下列命题中真命题是(      )
A．若，则                B．若 则 
C．若则               D．，则
                          
参考答案：
A
略
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10. 图几何体的主（正）视图和左（侧）视图都正确的是     
参考答案：
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. ，则输入的整数的最大值为           ．
参考答案：
5
12. 已知，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
参考答案：
13. (理)在极坐标系中，定点，点在直线 上运动，则线段的最短长度为        ．
参考答案：
14. 如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则      ；函数在处的导数        ．
参考答案：
【答案】2 
【解析】 
【高考考点】: 函数的图像，导数的求法。
15. 已知函数，无论t去何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上总是不单调，则a的取值范围是 ．
参考答案：
[2，+∞）
【考点】3F：函数单调性的性质．
【专题】33 ：函数思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用．
【分析】首先分析f（x）=x3﹣x，其单调区间．然后根据无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调，判断f（x）=（2a﹣1）x+3a﹣4的单调性，求出a的取值范围即可．
【解答】解：∵y=﹣x2+3x的图象开口向下，
∴y=﹣x2+3x总存在一个单调减区间，
要使f（x）在R上总是不单调，
只需令y=（2a﹣4）x+2a﹣3不是减函数即可．
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故而2a﹣4≥0，即a≥2．
故答案为：[2，+∞）．
16. 已知两非零向量，满足，，则向量与夹角的最大值是          .
参考答案：
17. 曲线y=和曲线y=x2围成的封闭图形的面积为 ．
参考答案：
【考点】定积分在求面积中的应用．
【分析】先确定交点坐标，可得积分区间，再利用定积分求面积即可．
【解答】解：由曲线y=和曲线y=x2可得交点坐标为（0，0），（1，1），则
曲线y=和曲线y=x2围成的封闭图形的面积为S=（﹣x2）dx=（﹣）=．
故答案为：．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数).
（1）若，求l的普通方程和C的直角坐标方程；
（2）若l与C有两个不同的交点A，B，且P(2,1)为AB的中点，求|AB|.
参考答案：
解：（1）的普通房成为，
的直角坐标方程为.
（2）把代入抛物线方程得，
设所对应的参数为，则.
∵为的中点，∴点所对应的参数为，
∴，即.
则变为，此时，
∴.
19. （1）已知数列{an}中，，，Sn为数列{an}的前n项和，求证：．
（2）在数列{an}中，a1=1，，n∈N*，其中实数c≠0．
（Ⅰ） 求{an}的通项公式；
（Ⅱ） 若对一切k∈N*有a2k＞a2k﹣1，求c的取值范围．
参考答案：
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．
【分析】（1）由题意可得1﹣an+1=1﹣sin（an），令bn=1﹣an，Tn为数列{bn}的前n项和，运用分析法证明，结合x＞0时，sinx＜x，运用等比数列的求和公式，即可得证；
（2）（Ⅰ）在数列{an}中，a1=1，，n∈N*，可得=+2n+1，运用数列恒等式，结合等差数列的求和公式，化简即可得到所求；
（Ⅱ）由对一切k∈N*有a2k＞a2k﹣1，可得一切k∈N*有4（c2﹣c）k2+4ck﹣c2+c﹣1＞0．设f（x）=4（c2﹣c）x2+4cx﹣c2+c﹣1，求出对称轴和f（1）＞0，及c2﹣c≥0，可得c的范围，证c在这个范围内不等式恒成立．即可得到所求范围．
【解答】解：（1）证明：数列{an}中，，，
可得1﹣an+1=1﹣sin（an），
令bn=1﹣an，Tn为数列{bn}的前n项和，
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由Sn为数列{an}的前n项和，要证，
只需证n﹣Sn＜，即证Tn＜，
由bn+1=1﹣sin（（1﹣bn））=1﹣sin（﹣bn）=1﹣cosbn=2sin2bn，
＜2（bn）2≤bn，
即Tn＜=＜＜，
则成立；
（2）（Ⅰ）在数列{an}中，a1=1，，n∈N*，
可得=+2n+1，
即有=+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=+3+5+…+2n﹣1=+n2﹣1，
可得an=（n2﹣1）cn+cn﹣1，
（Ⅱ）由对一切k∈N*有a2k＞a2k﹣1，可得
一切k∈N*有4（c2﹣c）k2+4ck﹣c2+c﹣1＞0．
设f（x）=4（c2﹣c）x2+4cx﹣c2+c﹣1，对称轴为x=﹣，
由f（1）=3c2+c﹣1＞0，可得c＞或c＜，
由c2﹣c≥0，即c≥1或c≤0，即有c≥1或c＜，
下面证c在这个范围内不等式恒成立．
当c≥1时，f（x）的对称轴为x=﹣＜0，f（1）＞0，得证x≥1时，f（x）＞0成立；
当c＜时，f（x）的对称轴为x=﹣＜，可得f（x）在（1，+∞）递增，f（1）＞0，
可得x≥1时，f（x）＞0成立．
综上可得，c的范围是（﹣∞，）∪[1，+∞）．
20. 已知函数．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
参考答案：
（1）见解析；（2）．
（1），
若，，在上单调递减；
若，当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增．
（2）若，在上单调递减，至多一个零点，不符合题意；
若，由（1）可知，的最小值为，
令，，所以在上单调递增，
又，当时，，至多一个零点，不符合题意，
当时，，
又因为，结合单调性可知在有一个零点，
令，，
当时，单调递减；当时，单调递增，
的最小值为，所以，
当时，
，
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结合单调性可知在有一个零点，
综上所述，若有两个零点，的范围是．
21. (本题满分12分)
.已知椭圆的右顶点为，上顶点为，直线与椭圆交于不同的两点，若是以为直径的圆上的点，当变化时，点的纵坐标的最大值为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，是否存在，使得向量与共线？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
解：（1）由，
，圆心为以EF为直径的圆的方程为：
（当时取等）令则
   依题
椭圆C的方程为：        …………………………………………………6分
（2），由消去y:
设,PQ的中点M
由点差法：……………………8分
即①    M在直线上 ②
又，而与共线，可得//
  ③,     由①②③得，这与矛盾，故不存在……12分
22. （本小题满分13分）
已知椭圆右顶点到右焦点的距离为，短轴长为．
   （I）求椭圆的方程；
   （Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若线段AB的长为，求直线AB的方程．
参考答案：
解：（Ⅰ）由题意，                          
                                   解得．                                       
    即：椭圆方程为                                              
   （Ⅱ）当直线与轴垂直时，，
    不符合题意故舍掉；                       
    当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：，
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    代入消去得： ．        
    设 ，则               
所以   ，由，                     
所以直线或．