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一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 我国古代数学著作（算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．“那么，此人第4天和第5天共走路程是（ ）
A. 24里 B. 36里 C. 48里 D. 60里
参考答案：
B
【分析】
记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，利用等比数列求和公式解得，利用等比数列的通项公式可得．
【详解】记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，
由，得，解得：，
．
所以此人第4天和第5天共走了里，故选B．
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考属于中档题．等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.
2. 设=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则|a﹣bi|=（ ）
A．1 B． C． D．
参考答案：
D
【考点】A8：复数求模．
【分析】求出a，b的值，求出|a﹣bi|的值即可．
【解答】解： ==+i=a+bi，
故a﹣bi=﹣i，|a﹣bi|==，
故选：D．
3. 设集合，，，则 等于
A．            B．            C．     D．
 
参考答案：
B
略
4. 下列命题正确的是（ ）
A．“a2＞9”是“a＞3”的充分不必要条件
B．函数f（x）=x2﹣x﹣6的零点是（3，0）或（﹣2，0）
C．对于命题p：?x∈R，使得x2﹣x﹣6＞0，则￢p：?x∈R，均有x2﹣x﹣6≤0
D．命题“若x2﹣x﹣6=0，则x=3”的否命题为“若x2﹣x﹣6=0，则x≠3”
参考答案：
C
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】A，“a2＞9”是“a＞3”的必要不充分条件；
B，函数f（x）=x2﹣x﹣6的零点不是点，是方程的根；
C，命题p：?x∈R，使得x2﹣x﹣6＞0，则￢p：?x∈R，均有x2﹣x﹣6≤0，；
D，命题的否命题既要否定条件，又要否定结论；
【解答】解：对于A，“a2＞9”是“a＞3”的必要不充分条件，故错；
对于B，函数f（x）=x2﹣x﹣6的零点是3，﹣2，故错；
对于C，命题p：?x∈R，使得x2﹣x﹣6＞0，则￢p：?x∈R，均有x2﹣x﹣6≤0，正确；
对于D，命题“若x2﹣x﹣6=0，则x=3”的否命题为“若x2﹣x﹣6≠0，则x≠3，故错；
故选：C
5. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）
（A）有最大值      （B）有最小值
（C）有唯一零点         （D）有极大值和极小值
参考答案：
C
略
6. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是(    )
A．     B．    C．      D．
参考答案：
D
略
7. 某产品的广告费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的统计数据如表：
x
0
1
3
4
y
22
35
48
75
根据表中数据求得回归直线方程为=+，则等于（ ）
A．22 B．26 C． D．
参考答案：
B
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】根据数据求出样本平均数=2， =45，即可得出结论．
【解答】解：根据数据表，样本平均数=2， =45，
∴=45﹣×2=26，
故选：B
8. 函数的定义域为（）
A.(－∞,－1)        B. (－∞,1)           C.(0,1)           D.(1,+∞)
参考答案：
D
由x－1＞0，可得x＞1.
9.  设定义域为R的函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是（     ）
A．且  B．且   C．且  D．且
参考答案：
C
10. 已知复数z满足(i为虚数单位)，则z的虚部为（   ）
A．         B．       C．       D．
参考答案：
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 等比数列前n项的乘积为，且，则=__________．
参考答案：
512
略
12. 在半径为R的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱的体积的最大值是_____________.
参考答案：
略
13. 直线与圆的相切，则       
参考答案：
-3±
略
14. 若这10个数据的样本平均数为,,则，这11个数据的方差为________．
参考答案：
略
15. 双曲线与直线相交于两个不同的点，则双曲线离心率的取值范围是               .
参考答案：
16. 一质地均匀的正方体三个面标有数字，，若用随机变量表示两次抛掷后向上面所标有的数字之积，则数学期望=___________.
参考答案：
略
17. 已知函数（>0）的图像与y轴交与P，与x轴的相邻两个交点记为A，B，若△PAB的面积等于，则           ；
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
参考答案：
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】设箱底边长为x，根据已知中箱子的制作方法，我们可求出容积V（x）的解析式，求出其导函数，分析其单调性，可得到函数的最值点，代入可得答案．
【解答】解：设箱底边长为x，则箱高为h=×（0＜x＜a），…
箱子的容积为V（x）==（0＜x＜a），．              …
由V′（x）==0解得x=0（舍），x=，…
且当x∈（0，）时，V′（x）＞0；当x∈（，a）时，V′（x）＜0，
所以函数V（x）在x=处取得极大值，…
这个极大值就是函数V（x）的最大值：V（）==．…
答：当箱子底边长为时，箱子容积最大，最大值为．                …
19. 已知椭圆
（1）求证椭圆C1在其上一点A（x0，y0），A处的切线方程为x0x+2y0y﹣2=0．
（2）如图，过椭圆C2：上任意一点P作C1的两条切线PM和PN，切点分别为M，N，当点P在椭圆C2上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式等于0可得A处的切线方程为x0x+2y0y﹣2=0；
（2）利用同一法求出过MN的方程为mx+2ny﹣2=0，由点到直线的距离公式求出O到MN所在直线的距离，由距离为定值可得存在定圆恒与直线MN相切．
【解答】（1）证明：联立，得．
∵△==
=．
∴x0x+2y0y﹣2=0为椭圆在点A（x0，y0）处的切线方程；
（2）解：设P（m，n），则椭圆C1在点M（x3，y3）处的切线方程为x3x+2y3y﹣2=0．
又PM过点P（m，n），∴x3m+2y3n﹣2=0．
同理点N（x4，y4）也满足x4m+2y4n﹣2=0．
∴M，N都在直线xm+2yn﹣2=0上，
即直线MN的方程为mx+2ny﹣2=0．
∴原点0到直线MN的距离d=．
∵，∴m2+4n2=8．
∴．
即直线MN始终与圆相切．
20. 如图,四棱柱的底面是平行四边形,且,,,为的中点, 平面.
(Ⅰ)证明:平面平面;
(Ⅱ)若,试求异面直线与所成角的余弦值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试求二面角的余弦值.
 
 
参考答案：
(Ⅰ) 略(Ⅱ) (Ⅲ)
(Ⅰ)依题意,
所以是正三角形, []
又
所以,
因为平面,平面,所以
因为,又在平面内
所以平面
因为平面,所以平面平面
(Ⅱ)取的中点,连接、  ,连接,则
所以是异面直线与所成的角
因为,,
所以 ,,
所以
(Ⅱ)解法2:以为原点,过且垂直于的直线为轴,所在直线为轴、所在直线为建立右手系空间直角坐标系       
设(),
则
(Ⅰ)设平面的一个法向量为,
则                                    
,取,则,从而,
同理可得平面的一个法向量为,
直接计算知,所以平面平面
(Ⅱ)由即    解得                                                       
,
所以异面直线与所成角的余弦值
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,平面的一个法向量为
又,设平面的法向量[]
则得 ，令,则
所以
设二面角的平面角为,且为锐角
则
所以二面角的余弦值为
略
21. 已知函数f（x）=x2+ax，g（x）=ex，a∈R且a≠0，e=…，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）?g（x）在[﹣1，1]上极值点的个数；
（Ⅱ）令函数p（x）=f'（x）?g（x），若?a∈[1，3]，函数p（x）在区间[b+a﹣ea，+∞]上均为增函数，求证：b≥e3﹣7．
参考答案：
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．
【分析】（Ⅰ）求出函数h（x）的导函数，h′（x）=
，令t（x）=x2+2（a+1）x+2a，求出t（x）的两个零点＜﹣1，＞﹣1．然后分a≤和a＞﹣讨论函数的单调性，从而求得函数h（x）=f（x）?g（x）在[﹣1，1]上的一个极值点的个数；
（Ⅱ）由函数p（x）在区间[b+a﹣ea，+∞]上为增函数，可得p′（x）=ex（x+a+1）≥0在区间[b+a﹣ea，+∞]上恒成立，转化为x+a+1≥0在区间[b+a﹣ea，+∞]上恒成立，得到b≥ea﹣2a﹣1对?a∈[1，3]恒成立，令φ（a）=ea﹣2a﹣1，求导可得φ（a）=ea﹣2a﹣1在[1，3]上为增函数，则φ（a）的最大值为φ（3）=e3﹣7．从而证得b≥e3﹣7．
【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）=x2+ax，g（x）=ex，
∴h（x）=f（x）?g（x）=（x2+ax）ex，h′（x）=，
令t（x）=x2+2（a+1）x+2a，由t（x）=0，得＜﹣1，＞﹣1．
若a≤，则x2≥1，t（x）≤0在[﹣1，1]上恒成立，即h′（x）在[﹣1，1]上恒成立，h（x）单调递减，在[﹣1，1]上无极值点；
若a＞﹣，则﹣1＜x2＜1，当x∈[﹣1，x2）时，t（x）＜0，即h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（x2，1]时，t（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）单调递增，
∴x2是函数h（x）=f（x）?g（x）在[﹣1，1]上的一个极值点．
（Ⅱ）证明：p（x）=f'（x）?g（x）=（x+a）ex，p′（x）=ex（x+a+1），
∵函数p（x）在区间[b+a﹣ea，+∞]上为增函数，∴ex（x+a+1）≥0在区间[b+a﹣ea，+∞]上恒成立，
即x+a+1≥0在区间[b+a﹣ea，+∞]上恒成立，
则b+a﹣ea+a+1≥0对?a∈[1，3]恒成立，
∴b≥ea﹣2a﹣1对?a∈[1，3]恒成立，
令φ（a）=ea﹣2a﹣1，则φ′（a）=ea﹣2＞0，
∴φ（a）=ea﹣2a﹣1在[1，3]上为增函数，则φ（a）的最大值为φ（3）=e3﹣7．
∴b≥e3﹣7．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，考查数学转化思想方法，属难题．
22. 如图，已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F．
（1）求证：A1C⊥平面BDE；
（2）求三棱锥C﹣BDE的体积．
参考答案：
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．
【专题】综合题；空间位置关系与距离．
【分析】（1）先证明：BD⊥A1C，BE⊥A1C，再证明A1C⊥平面BDE；
（2）利用VC﹣BDE=VE﹣BDC，求三棱锥C﹣BDE的体积．
【解答】（1）证明：因为BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1=A，
所以BD⊥平面A1AC，
所以BD⊥A1C；
又因为BE⊥B1C，BE⊥A1B1，B1C∩A1B1=B1，
所以BE⊥平面A1B1C，
所以BE⊥A1C；
因为BD∩BE=B
所以A1C⊥平面BDE．
（2）解：由题意CE=1，
所以VC﹣BDE=VE﹣BDC==（14分）
【点评】本题考查线面垂直，考查三棱锥C﹣BDE的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．