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江苏省南通市如东县兵房中学2020-2021学年高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 直线截圆得到的弦长为（    ）
A．        B．         C．         D．
参考答案：
B
2. 数列的通项公式是，若前n项的和为10，则项数n为（ ）
A．11        B．99   C．120   D．121
参考答案：
B
略
3. 实数满足不等式组则目标函数当且仅当时取最大值，则的取值范围是（    ）
A．             B．       C．      D．
参考答案：
C
4. 已知、满足约束条件，则目标函数
A．最大值为           B．最大值为         C．最大值为             D．以上都不对
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参考答案：
B
5. 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔高AB的高度为（ ）
A．10 B．10    C．10 D．10
参考答案：
D
【考点】解三角形的实际应用．
【专题】计算题；解三角形．
【分析】先在△ABC中求出BC，再△BCD中利用正弦定理，即可求得结论．
【解答】解：设塔高AB为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有BC=x，AC=x
在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°
由正弦定理可得， =
∴BC==10
∴x=10
∴x=
故塔高AB=
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【点评】本题考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，属于中档题．
6. f(x)是R上的可导函数，且f(x)+ x>0对x∈R恒成立，则下列恒成立的是（    ）
A. f(x)>0            B. f(x)<0          C. f(x)>x        D. f(x)<x
参考答案：
A
7. 设，且，则的最小值是            （ ）
A．6          B．12     C．18         D．36
参考答案：
C
8. 抛物线y=x2的焦点坐标是(     )
A．（0，）      B.(,0)       C.(1,0)           D.(0,1)
参考答案：
D
9. 复数的值是（    ）
A．2       B．-2     C．-     D．
参考答案：
C
10. 给出下面四个推理：
①由“若a，b是实数，则”推广到复数中，则有“若是复数，则”；
②由“在半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”类比推出“在半径为R的球内接长方体中，正方体的体积最大”；
③以半径R为自变量，由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数
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”；
④由“直角坐标系中两点、的中点坐标为”类比推出“极坐标系中两点、的中点坐标为”．
其中，推理得到的结论是正确的个数有（    ）个
A．1              B．2              C．3              D．4
参考答案：
C
由题意，对于①中，根据复数的表示和复数的几何意义，可知“若复数，则”是正确的；
对于②中，根据平面与空间的类比推理可得：“在半径为R的球内接长方体中，正方体的体积最大”是正确的；
对于③中，由球的体积公式为，其表面积公式为，所以，所以是正确的；
对于④中，如在极坐标系中，点，此时CD的中点坐标为，不满足“极坐标系中两点的中点坐标为”，所以不正确，
综上，正确命题的个数为三个，故选C．
 
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 观察下列不等式：
  
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   …，…
  照此规律，第五个不等式为                                  。
参考答案：
略
12. 已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“”是
的            .(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)
参考答案：
充要条件
∵，
∴，
整理得．
∴“”是“”的充要条件．
 
13. 已知等差数列中，=5，，则数列的前50项和为______；                   
参考答案：
14. 函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x﹣1，则f（x）的值域为   ．
参考答案：
（﹣1，1）
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【考点】函数奇偶性的性质；函数的值域．
【分析】由题意利用函数的单调性求得当x≤0时，f（x）∈（﹣1，0]，再根据它是奇函数，可得x≥0 时，函数的值域为[0，1），从而求得它的值域．
【解答】解：当x≤0时，f（x）=2x﹣1为增函数，可得f（x）∈（﹣1，0]．
函数f（x）为定义在R上的奇函数，它的图象关于原点对称，可得x≥0 时，函数的值域为[0，1）．
综上可得，f（x）在R上的值域为（﹣1，1），
故答案为：（﹣1，1）．
15. 在一次篮球练习课中，规定每人最多投篮4次，若投中3次就称为“优秀”并停止投篮，已知甲每次投篮投中的概率是，设甲投中蓝的次数为X，则期望E（X）= ．
参考答案：
考点： 离散型随机变量的期望与方差． 
专题： 概率与统计．
分析： 由题意得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出甲投中蓝的次数X的数学期望．
解答： 解：由题意得X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=（1﹣）4=，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）=1﹣（）=，
∴EX=0×=．
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故答案为：．
点评： 本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是基础题，解题时要注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k的概率公式的合理运用．
16. 已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x)＝f(x＋4)，f(1)＝2，则f(2 015)等于 .
参考答案：
－2
f(2 015)＝f(4×503＋3)＝f(3)＝－f(－3)
＝－f(－3＋4)＝－f(1)＝－2.
17. 若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则 的最小值是___________.[
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）若时，<恒成立，求实数c的取值范围.
参考答案：
(1)极小值为，极大值为；(2)
【分析】
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(1)本题首先可通过函数写出函数的导函数，然后根据导函数的相关性质即可求出函数的极值；
(2)首先可以求出当时函数的最大值，再根据题意可得，最后通过计算即可得出结果。
【详解】(1)因为，
所以，
当，即，解得；
当，即，解得或者；
当，即，解得或，
所以函数有极小值为，极大值为。
(2)因为，，，
所以当时，的最大值为，
因为时，恒成立，
所以，，
实数的取值范围为。
【点睛】本题考查函数的相关性质，主要考查利用导数求函数的极值以及函数的不等式恒成立问题，若函数小于某一个值，则说明函数的最大值小于这一个值，考查推理能力与运算能力，是中档题。
19. 求过A点（0,7）向圆x2+y2－6x-6y+9=0所作的切线方程
参考答案：
解：①若切线的斜率存在，设所求切线方程为y=kx+7
圆的方程：（x-3）2+(y-3) 2=9即圆心（3,3） r=3 ＝3……5分
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解之得：K=- 即切线方程为：y=-x＋7  ……8分
②若切线的斜率不存在，则直线x＝0，也符合要求 ……11分
故切线方程为7x＋24y-7＝0或x=0 ……12分
20. （本小题满分12分）设函数曲线y=f(x)通过点（0，2a+3），且在点（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴.
（Ⅰ）用a分别表示b和c；
（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g(x)=-f(x)e-x的单调区间.
参考答案：
解：(Ⅰ)因为
        又因为曲线通过点（0，2a+3）,
        故………2分
        又曲线在（-1，f(-1)）处的切线垂直于y轴，故
        即-2a+b=0,因此b=2a.                     ………5分
 
    (Ⅱ)由(Ⅰ)得
        故当时，取得最小值-.
        此时有                        ………7分
        从而
       
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        所以………9分
        令，解得
        当
        当
        当
        由此可见，函数的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）. ………12分
略
21. （12分）已知函数f（x）=ax3+bx+12在点（1，f（1））处的切线方程为9x+y﹣10=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）设函数f（x）在[0，m]（m＞0）上的最大值为g（m），求函数g（m）的最小值．
参考答案：
（Ⅰ）∵f（x）=ax3+bx+12在点（1，f（1））处的切线方程为9x+y﹣10=0，
∴f′（x）=3ax2+x，
，
解得a=1，b=﹣12．
（Ⅱ）∵f′（x）=3x2﹣12=3（x2﹣4），
由f′（x）＞0，得x＜﹣2或x＞2，
∴f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
由f（0）=12，即x2﹣12x+12=12，得x=0，或x=，
①当0＜m＜2时，f（x）在（0，2）上单调递递，
在（2，m）上单调递增，且f（0）＞f（m），
∴f（x）的最大值为f（0）=12．
②当m时，f（x）在（0，2）上单调递递，
在（2，m）上单调递增，且f（0）≤f（m），