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北京矿院附属中学2020-2021学年高二数学文上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数f(x)=xex,则f′(2)等于( )
A.e2 B.2e2 C.3e2 D.2ln2
参考答案:
C
【考点】导数的运算.
【分析】先根据两乘积函数的导数运算法则求出f(x)的导数,然后将2代入导函数,即可求出所求.
【解答】解:∵f(x)=xex,
∴f′(x)=ex+xex.
∴f′(2)=e2+2e2=3e2.
故选C.
【点评】本题主要考查了导数的运算,以及函数的求值,解题的关键是两乘积函数的导数运算法则,属于基础题.
2. 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,上底边长为8,下底边长为24,高为20,为降低消耗,开源节流,现在从这此边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,则截取的矩形面积最大值为                                    ( )
A.190 B.180 C.170 D.160
参考答案:
B
3. 已知向量=(3,﹣2),=(x,y﹣1)且∥,若x,y均为正数,则+的最小值是( )
A.24 B.8 C. D.
参考答案:
B
【考点】9K:平面向量共线(平行)的坐标表示;7F:基本不等式.
【分析】根据向量共线定理列出方程,得出2x+3y=3,再求的最小值即可.
【解答】解:∵∥,
∴﹣2x﹣3(y﹣1)=0,
化简得2x+3y=3,
∴=(+)×(2x+3y)
=(6+++6)≥(12+2)=8,
当且仅当2x=3y=时,等号成立;
∴的最小值是8.
故选:B.
4. 要得到函数的图象,只需要将函数的图象(     )
A.向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向左平移个单位
参考答案:
A
略
5. 在一个袋子中装有分别标注数学1,2,3,4,5的五个小球,,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是(   )
A. B. C. D.
参考答案:
A
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6. 在等差数列{an}中,已知,则该数列前11项和等于
A.58      B.88        C.143       D.176
参考答案:
B
7. 设全集U=R,集合,,则(   )
A.       B.       C.     D.
参考答案:
D
因为 ,,
又因为集合,
所以,故选D.
 
8. 等比数列的前项和为,, 若成等差数列,则(     )
A. 7       B.  8      C. 16          D.15
参考答案:
D
9. 已知某几何体的三视图如右上图所示,则该几何体的体积是……(▲)
A.       B. 
C.      D.
 
参考答案:
C
略
10. 下列命题中,真命题是
A. 
 B. 
 
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 过抛物线y2=4x的焦点,作倾斜角为的直线交抛物线于P、Q两点,O为坐标原点,则△POQ的面积为 .
参考答案:
2
【考点】直线与圆锥曲线的关系.
【分析】设P(x1,y1),Q(x2,y2),则S=|OF|?|y1﹣y2|.直线为x﹣y﹣1=0,即x=1+y代入y2=4x得:y2=4(1+y),由此能求出△OPQ的面积.
【解答】解:设P(x1,y1),Q(x2,y2),则S=|OF|?|y1﹣y2|.
过抛物线y2=4x的焦点(1,0),倾斜角为的直线为x﹣y﹣1=0,
即x=1+y,代入y2=4x得:
y2=4(1+y),即y2﹣4y﹣4=0,∴y1+y2=4,y1y2=﹣4,
3 / 7
∴|y1﹣y2|===4,
∴S=|OF|?|y1﹣y2|=×4 =2.
故答案为:2
12. 已知为椭圆的左、右焦点,则在该椭圆上能够满足的点共有        个
参考答案:
4
13. 已知向量,,则=________________.
参考答案:
2
14. 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),在极坐标系中(在直角坐标系中,以O为极点,以轴正半轴为极轴),曲线的方程为,若与有且只有一个公共点,则=                    .
参考答案:
15. 若角α的终边与240°角的终边相同,则的终边在第      象限.
参考答案:
二或四
【分析】首先表示出α,然后可知=120°+k?180°,从而确定所在的象限.
【解答】解:由题意知,α=240°+k?360°,k∈z,
=120°+k?180°,k∈z
故的终边在第二或四象限.
故答案为:二或四.
【点评】本题主要考查了象限角,确定出=120°+k?180°是解题的关键.
16. 如图,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子它落在阴影区域内的概率为,则阴影区域的面积为 .
参考答案:
【考点】几何概型.
【专题】计算题.
【分析】本题考查的知识点是根据几何概型的意义进行模拟试验,计算不规则图形的面积,关键是要根据几何概型的计算公式,列出豆子落在阴影区域内的概率与阴影部分面积及正方形面积之间的关系.
【解答】解:正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率,
P==,
又∵S正方形=4,
∴S阴影=,
【点评】利用几何概型的意义进行模拟试验,估算不规则图形面积的大小,关键是要根据几何概型的计算公式,探究不规则图形面积与已知的规则图形的面积之间的关系,及它们与模拟试验产生的概率(或频数)之间的关系,并由此列出方程,解方程即可得到答案.
17. 在大小相同的6个球中,2个是红球,4个是白球.若从中任意选取3个,则所选的3个球中至少有1个红球的概率是________.(结果用分数表示)
参考答案:
4 / 7
试题分析:由题意知本题是一个古典概型,∵试验发生包含的所有事件是从6个球中取3个,共有种结果,而满足条件的事件是所选的3个球中至少有1个红球,包括有一个红球2个白球;2个红球一个白球,共有∴所选的3个球中至少有1个红球的概率是.
考点:等可能事件的概率.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18.
如图,在三棱柱中,侧面,为棱上异于的一点,,已知,求:
   (Ⅰ)异面直线与的距离;
   (Ⅱ)二面角的平面角的正切值
 
 
参考答案:
解析:(I)以为原点,、分别为轴建立空间直角坐标系.
 
      
由于,
       在三棱柱中有
       ,
       设
      
又侧面,故. 因此是异面直线的公垂线,
则,故异面直线的距离为.
(II)由已知有故二面角的平面角的大小为向量的夹角.
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19. (本小题满分14分)已知各项均为正数的数列
满足且是、的等差中项
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求
参考答案:
(2)由(1)及,得,…………………2分
          ①
                   ②
………………………………………………………………………………2分
 
②-①得,………3分
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20. 有4个不同的球,四个不同的盒子,把球全部放入盒内(结果用数字表示).
(1)共有多少种放法?
(2)恰有一个盒子不放球,有多少种放法?
(3)恰有一个盒内放2个球,有多少种放法?
(4)恰有两个盒不放球,有多少种放法?
参考答案:
【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.
【分析】(1)一个球一个球地放到盒子里去,每只球都可有4种独立的放法,由分步乘法计数原理,即可得到;
(2)先从四个盒子中任意拿出去1个,再将4个球分成2,1,1的三组,然后再排,运用分步乘法计数原理,即可;
(3)“恰有一个盒内放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事,即可得到;
(4)先从四个盒子中任意拿走两个,问题即为:4个球,放入两个盒子中,每个不空,有几种排法?从放球数目看,可分两类(3,1),(2,2).分别求出种数,由两个计数原理,即可得到.
【解答】解:(1)一个球一个球地放到盒子里去,每只球都可有4种独立的放法,
由分步乘法计数原理,放法共有:44=256种.                      
(2)为保证“恰有一个盒子不放球”,先从四个盒子中任意拿出去1个,
再将4个球分成2,1,1的三组,有种分法;然后再从三个盒子中选一个放两个球,
其余两个球放两个盒子,全排列即可.由分步乘法计数原理,共有放法: ??=144种.         
(3)“恰有一个盒内放2个球”,即另外三个盒子中恰有一个空盒.
因此,“恰有一个盒内放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事.故也有144种放法.
(4)先从四个盒子中任意拿走两个有种,然后问题转化为:4个球,放入两个盒子中,每个不空,有几种排法?从放球数目看,可分两类(3,1),(2,2).
第一类,可从4个球选3个,然后放入一个盒子中,即可,有?种;
第二类,有种,
共有?+=14种,
由分步计数原理得,恰有两个盒不放球,共有6×14=84种放法.
21. (12分)从某校高一年级1000名学生中随机抽取100名测量身高,测量后发现被抽取的学生身高全部介于155厘米到195厘米之间,将测量结果分为八组:第一组[155,160),第二组[160,165),…,第八组[190,195),得到频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)计算第三组的样本数;并估计该校高一年级1000名学生中身高在170厘米以下的人数;
(Ⅱ)估计被随机抽取的这100名学生身高的中位数、平均数.
参考答案:
【考点】频率分布直方图.
【专题】计算题;图表型;数形结合;数形结合法;概率与统计.
【分析】(Ⅰ)由频率分布直方图分析可得各数据段的频率,再由频率与频数的关系,可得频数.
(Ⅱ)先求前四组的频率,进而可求中位数,计算可得各组频数,即可求解平均数.
【解答】(本题满分为12分)
解:(Ⅰ)由第三组的频率为:[1﹣5×(+++++)]÷2=,
则其样本数为:×100=20,…3分
由5×(+)+=,
则该校高一年级1000名学生中身高在170厘米以下的人数约为:×1000=320(人)…6分
(Ⅱ)前四组的频率为:5×(+)+=,﹣=,
则中位数在第四组中,由=,可得:175﹣×5=,
cm,…9分
计算可得各组频数分别为:4,8,20,20,30,8,6,4,
平均数约为:(×4+×8+×20+×20+×30+×8+×6+×4)÷100=(cm)…12分
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用,关键是正确分析频率分布直方图的数据信息,准确计算,属于基础题.
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22. 设函数,
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)求在区间的最大值和最小值。
参考答案:
略