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一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=pi，P（ξi=0）=1﹣pi，i=1，2．若0＜p1＜p2＜，则（ ）
A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
参考答案：
A
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．
【分析】由已知得0＜p1＜p2＜，＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，求出E（ξ1）=p1，E（ξ2）=p2，从而求出D（ξ1），D（ξ2），由此能求出结果．
【解答】解：∵随机变量ξi满足P（ξi=1）=pi，P（ξi=0）=1﹣pi，i=1，2，…，
0＜p1＜p2＜，
∴＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，
E（ξ1）=1×p1+0×（1﹣p1）=p1，
E（ξ2）=1×p2+0×（1﹣p2）=p2，
D（ξ1）=（1﹣p1）2p1+（0﹣p1）2（1﹣p1）=，
D（ξ2）=（1﹣p2）2p2+（0﹣p2）2（1﹣p2）=，
D（ξ1）﹣D（ξ2）=p1﹣p12﹣（）=（p2﹣p1）（p1+p2﹣1）＜0，
∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）．
故选：A．
2. 一个组合体的三视图如图，则其体积为
A．12B．16C．20D．28
参考答案：
C
由三视图可知该几何体为圆柱和圆锥的组合体。。
3. 某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色，则所选颜色中含有白色的概率是（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
先求出基本事件总数，再求出所选颜色中含有白色的基本事件个数，由此利用等可能事件概率计算公式计算即可．
【详解】从黄、白、蓝、红种颜色中任意选种颜色的所有基本事件有{黄白}，{黄蓝}，{黄红}，{白蓝}，{白红}，{蓝红}，，选中白色的概率为，
故选B.
 
4. 复数在复平面对应的点在第几象限            （   ）
      
参考答案：
D.
试题分析：由题意得，复数在复平面对应的点的坐标为（-1，2），故其在第四象限，故选D.
考点：复平面直角坐标系.
5. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
A
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可．
【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：
故选A．
6. 已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为
A.    B.    C.   D.
参考答案：
C
略
7. 在△ABC中，已知A=300，a=5，b=8，解此三角形，得到三角形的个数为
                                            
参考答案：
C
8. 在平面直角坐标系中，若直线y=x与直线是参数，0≤θ＜π）垂直，则θ=（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】利用直线y=x与直线是参数，0≤θ＜π）垂直，可得tanθ=﹣1，即可得出结论．
【解答】解：∵直线y=x与直线是参数，0≤θ＜π）垂直，
∴tanθ=﹣1，
∴θ=，
故选D．
9. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点。若的中点坐标为，则的方程为    
A.        B.        C.    D.
参考答案：
D
略
10. 已知=（,-4）与=(1, )，则不等式·≤0的解集为（     ）
A. {x|x≤-2或x≥2}        B. {x|-2≤x＜0或x≥2}
C. {x|x≤-2或0≤x≤2}     D. {x|x≤-2或0＜x≤2}
参考答案：
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （5分）（2016春?福建校级期中）若复数（1+ai）2（i为虚数单位）是纯虚数，则正实数a= ．
参考答案：
1
【分析】根据复数的概念进行求解即可．
【解答】解：（1+ai）2=1+2ai+ai2=1﹣a+2ai，
∵是纯虚数，
∴得a=1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查复数的有关概念，根据复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．比较基础．
12. 若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是         ．
参考答案：
略
13.  某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n=          .
参考答案：
192
14. i是虚数单位，复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为     ．
参考答案：
1
【考点】A2：复数的基本概念．
【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由（1+i）z=2，
得，
∴z的实部为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
15. 空间直角坐标系中，已知A（2，3，﹣1），B（2，6，2），C（1，4，﹣1），则直线AB与AC的夹角为     ．
参考答案：
60°
【考点】M7：空间向量的夹角与距离求解公式．
【分析】根据空间向量的坐标表示，得出、的坐标，利用向量的夹角公式求出向量、的夹角即可．
【解答】解：空间直角坐标系中，A（2，3，﹣1），B（2，6，2），C（1，4，﹣1），
∴=（0，3，3），=（﹣1，1，0），
∴?=0×（﹣1）+3×1+3×0=3，
||==3，
||==，
∴cos＜，＞===，
∴向量、的夹角为60°，
即直线AB与AC的夹角为60°．
故答案为：60°．
16. 已知，则________.
参考答案：
－3
【分析】
由两角差的正切公式展开，解关于的方程。
【详解】因为，所以。
【点睛】本题考查两角差正切公式的简单应用，注意公式的特点：分子是减号，分母是加号。
17. 椭圆的一个焦点是，那么                       ；
参考答案：
   
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥底面ABC，且SB=AB=2，BC=，∠ABC=，D、E分别是SA、SC的中点．
（I）求证：平面ACD⊥平面BCD；
（II）求二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小．
 
参考答案：
【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理证明AD⊥平面BCD即可证明平面ACD⊥平面BCD．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角S﹣BD﹣E的余弦值．
【解答】证明：（I）∵∠ABC=，
∴BA⊥BC，
建立如图所示的坐标系，
则C（0，，0），A（2，0，0），D（1，0，1），E（0，，1），S（0，0，2），
则=（﹣1，0，1），=（0，，0），
=（1，0，1），
则?=（﹣1，0，1）?（0，，0）=0，
?=（﹣1，0，1）?（1，0，1）=﹣1+1=0，
则⊥，⊥，
即AD⊥BC，AD⊥BD，
∵BC∩BD=B，
∴AD⊥平面BCD；
∵AD?平面BCD；
∴平面ACD⊥平面BCD；
（II）=（0，，1），
则设平面BDE的法向量=（x，y，1），
则，即，
解得x=﹣1，y=，
即=（﹣1，，1），
又平面SBD的法向量=（0，，0），
∴cos＜，＞==，
则＜，＞=，即二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小为．
19. 设A、B是两个海岛，由于条件限制，无法直接度量A、B两点间的距离，如何在岸边测量它们之间的距离？请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案.
（Ⅰ）画出测量图案；
（Ⅱ）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；
（Ⅲ）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）.
参考答案：
解析：选一个观测点C，在△ABC中测得∠ACB的大小，再选择一个测点D，构造出一个能测出其一条边长的△BCD。要求出AB，还应先求出AC和BC，为此应先解△ACD和△BCD。
     
如图3，在岸边适当选取点C、D，使A、B、C、D共面（即保持在同一水平面上），测得，
在△BCD中，由正弦定理，可以得到:
，同理，在△ACD中也可以得到.
在△ABC中，由余弦定理，得，从而求得AB。
20. 图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4. 设AB=, BC=，凹槽的强度与横截面的面积的倍成正比，且当时凹槽的强度为．
（1）写出关于的函数表达式，并指出x的取值范围；
（2）求当取何值时，凹槽的强度最大，并求出最大值．
参考答案：
（1）易知半圆CmD的半径为x，故半圆CmD的弧长为.
所以 ，得
依题意知：  得所以，（）.
（2）依题意，设凹槽的强度为T，横截面的面积为S，凹槽的强度与横截面的面积的倍成正比的比例系数为，则有
由已知当时，所以，解得
所以（）
令得，列表（略）
所以，当时，.
答:（略）. 
21. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左焦点为F（﹣1，0），过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求k的取值范围；
（3）在y轴上，是否存在定点E，使?恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】计算题；综合题；压轴题；数形结合；方程思想；待定系数法；判别式法；设而不求法．
【分析】（1）直接求出a，b；
（2）利用一元二次方程有两个不等的实数解的条件；
（3）利用设而不求的方法，设出要求的常数，并利用多项式的恒等条件（相同次项的系数相等）
【解答】
所以k的取值范围是：
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=﹣
又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4
=﹣，
y1+y2=（kx1+2）+（kx2+2）
=k（x1+x2）+4
=
设存在点E（0，m），则，
所以
=
=
要使得=t（t为常数），
只要=t，
从而（2m2﹣2﹣2t）k2+m2﹣4m+10﹣t=0
即
由（1）得 t=m2﹣1，
代入（2）解得m=，从而t=，
故存在定点，使恒为定值．
【点评】本题运算量很大，运算时需要仔细．（3）中用了恒成立的方法，将恒成立转化成系数相等，这种技巧在求定值时用得较多．
22. 如图，直四棱柱中，，，， ，，为上一点，，
证明：⊥平面；
求点到平面 的距离.
参考答案：
略