文档介绍：云南大学
数学分析****作课(3)论文
题目: 利用幂级数求和函数问题的探究
学院: 数学与统计学院
专业: 数学与应用数学
姓名、学号: 王茂银 20111910116
任课教师: 黄辉老师
时间: 2012年12月14日
摘要
如何对幂级数进行求和?幂级数是一种较简单的函数项级数,在幂级数理论中,对给定幂级数讨论其收敛性,求收敛幂级数的和函数是重要内容之一,幂级数求和的求解是一类难度较大技巧性较高的问题,更好地了解和掌握幂级数求和的方法和技巧对于学****幂级数具有更好的指导意义和学****价值,求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的,一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解,因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。
关键词:幂级数;和函数;收敛;级数。
一、幂级数的基本概念
1、幂级数的定义
设是定义在数集上的一个函数列,则称
为定义在上的函数项级数,记为。
具有形如
的函数项级数称为在点处的幂级数。
特别地,在中,令,即上述形式化为
称为在0点的幂级数。
2、幂级数的和函数
若对幂级数中的都有,则称为幂级
数的和函数。
幂级数的部分和记为
且部分和有如下性质
幂级数收敛的判别
幂级数求和是建立在级数收敛的基础上的,所以需先判断一个级数是否收
敛,可以通过以下定理判断级数收敛性。
柯西-阿达马定理:幂级数
在内绝对收敛,在内发散。
其中,是幂级数的收敛半径
阿贝尔第一定理:若在点收敛,那么它必在
内绝对收敛,又若在点发散,则它必在
也发散。(对幂级数,如果存在,则此
级数的收敛半径也可以这样计算
又若=0,则,若=,则.)
阿贝尔第二定理:若的收敛半径为,则次级数在
内的任一闭区间上一直收敛,也就是在内
一致收敛;又若级数在点收敛,,
当级数在收敛时可得类似结论。
注:幂级数的性质
设幂级数的收敛半径为,则其和函数在
(或)收敛,则在
(或)连续。
设幂级数的收敛半径为,其和函数为,则在
意点,有
以及
且逐项积分和逐项求导后的级数(显然是幂级数),其实力半径认为。
三、幂级数求和函数的方法
方法一:定义法
对于幂级数,若前项和函数列有极限,即存
在,则此幂级数收敛,且
所以,幂级数的和
例1:求幂级数的和函数,其中,。
解:当时
方法二:分项组合法
通过观察幂级数具有某些明显的特征,比如可以将已知级数的通项拆项组
合,再计算所拆得各项的和函数,从而求得该级数的和函数。
例2:求的和函数。
解:易知该级数的收敛域为
当时,
当时
所以
方法三:逐项求导与逐项积分法
若幂级数的通项系数是自然数或相邻的自然数相乘的形式,可考虑用“先
积分,再求导”的做法;若幂级数的通项系数是自然数的倒数或相邻的自然数
乘积的倒数,可考虑用“先求导,再积分”的做法。
性质:(即幂级数中时)设幂级数在内的
和函数为,则
在内每一点都是可导的,且有逐项求导公式:
求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径。
在内可以积分,且有逐项积分公式:
其中是内任意一点,积分后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径
。
例3:求幂级数的和函数。
解:易知该级数的收敛域为,在任意区间上可以逐项积分
令
所以
从而可得所求和函数
例4:求幂级数的和函数。
解:易知收敛区间为
当时,
当时
设
得出
综上所述
方法四:代数方程法
此种方法目的在于建立以所求幂级数的和为变量的代数方程,并解之,从而
得到原幂级数的和函数。
例5:设有等差数列:
等比数列: 则各项为等差数列、等比数列对
应项的乘积所构成的级数为
求其和函数,其中为常数。
解:易知此级数的收敛域为
所以
例6:求幂级数的和函数,其中为的次多项式。
解:记
则
①
其中为的次多项式
再使用一次以上的运算方法可得
②
①-②得
其中为的次多项式
反复使用以上的方法可以得到
这样就可以求得。
方法五:微分方程法(引用)
在幂级数中,有一类含有阶乘运算的幂级数,这种幂级数的和函数的求法,
也就是把幂级数的和函数微分后,再与原来幂级数作某种运算,得到一个含
有幂级数和函数以及和函数导数的关系式,即微分方程,最后求解此微分方
程即得和函数。
第一类:比较常见的幂级数例