文档介绍：2018年硕士研究生招生考试大纲
011 数学科学学院
目录
初试考试大纲 1
617 数学分析 1
856 高等代数 5
432 统计学 8
复试考试大纲 12
实变函数 12
计算方法 13
常微分方程 14
概率论与数理统计(统计学) 16
概率论与数理统计(应用统计) 18
初试考试大纲
617 数学分析
一、考试性质
数学分析是数学相关专业硕士入学初试考试的专业基础课程。
二、考察目标
本考试大纲制定的依据是根据教育部颁发的《数学分析》教学大纲的基本要求,力求反映与数学相关的硕士专业学位的特点,客观、准确、真实地测评考生对数学分析的掌握和运用情况,为国家培养具有良好数学基础素质和应用能力、具有较强分析问题与解决问题能力的高层次、复合型的数学专业人才。
本考试旨在测试考生对一元函数微积分学、多元函数微积分学、级数理论等知识掌握的程度和运用能力。要求考生系统地理解数学分析的基本概念和基本理论;掌握数学分析的基本论证方法和常用结论;具备较熟练的演算技能和较强的逻辑推理能力及初步的应用能力。
三、考试形式
本考试为闭卷考试,满分为150分,考试时间为180分钟。
试卷结构:一元函数微积分学、多元函数微积分学、级数理论及其他(隐函数理论、场论等)考核的比例均约为1/3,分值均约为50分。
四、考试内容
(一) 变量与函数
1、实数:实数的概念、性质,区间,邻域;
2、函数:变量,函数的定义,函数的表示法,几何特征(有界函数、单调函数、奇偶函数、周期函数),运算(四则运算、复合函数、反函数),基本初等函数,初等函数。
(二) 极限与连续
1、数列极限:定义(e-N语言),性质(唯一性,有界性,保号性,不等式性、迫敛性),数列极限的运算,数列极限存在的条件(单调有界准则(重要的数列极限
),迫敛性法则,柯西收敛准则);
2、无穷小量与无穷大量:定义,性质,运算,阶的比较;
3、函数极限:概念(在一点的极限,单侧极限,在无限远处的极限,函数值趋于无穷大的情形(e-d, e-X语言));性质(唯一性,局部有界性,局部保号性,不等式性,迫敛性);函数极限存在的条件(迫敛性法则,归结原则(Heine定理),柯西收敛准则);运算;
4、两个常用不等式和两个重要函数极限(,);
5、连续函数:概念(在一点连续,单侧连续,在区间连续),不连续点及其分类;连续函数的性质与运算(局部性质及运算,闭区间上连续函数的性质(有界性、最值性、零点存在性,介值性、一致连续性),复合函数的连续性,反函数的连续性);初等函数的连续性。
(三)实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明
1、概念:子列,上、下确界,区间套,区间覆盖;
2、关于实数的基本定理:六个等价定理(确界存在定理、单调有界定理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有限覆盖定理);
3、闭区间上连续函数性质的证明:有界性定理的证明,最值性定理的证明,零点存在定理的证明,反函数连续性定理的证明;一致连续性定理的证明。
(四)导数与微分
1、导数:来源背景,定义(在一点导数的定义、单侧导数、导函数),导数的几何意义,简单函数的导数(常数、正弦函数、对数函数、幂函数),求导法则(四则运算,反函数的求导法则,复合函数的求导法则,隐函数的求导法则,参数方程所表示函数的求导法则);
2、微分:定义,运算法则,简单应用;
3、高阶导数与高阶微分:定义,运算法则。
(五)微分学基本定理及导数的应用
1、中值定理:费马(Fermat)定理,中值定理(罗尔(Rolle)中值定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理);
2、泰勒公式及应用(近似计算,误差估计);
3、导数的应用:函数的单调性、极值和最值,函数凸性与拐点,平面曲线的曲率,七种待定型与洛必达(L’Hospital)法则;
(六)不定积分
1、不定积分:概念,基本公式,运算法则,计算(换元积分法、分部积分法、有理函数积分法,其他类型积分)。
(七)定积分
1、定积分:来源背景,概念,函数可积的必要条件,达布上、下和,定积分存在的充要条件,可积函数类(闭区间上的连续函数,分段连续函数,单调有界函数),定积分的性质,定积分的计算(基本公式、换元公式、分部积分公式);
2、变上限定积分:定义,性质。
(八)定积分的应用
1、定积分在几何上的应用:平面图形的面积,曲线的弧长,截面已知的立体体积,旋转体的体积,旋转曲面的面积;
2、定积分在物理上的应用:功、压力、引力;
3、微元法。
(九)数项级数
1、预备知识:上、下极限;
2、级数的敛散性:无穷级数收敛、发散等概念,柯西收敛原理,收敛级数的基本性质;
3、正项级数