文档介绍：第二章矩阵及其运算
逆矩阵
矩阵与复数相仿,有加、减、乘三种运算.
矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢?
这就是本节所要讨论的问题.
这一节所讨论的矩阵,如不特别说明,所指的都是 n 阶方阵.
从乘法的角度来看,n 阶单位矩阵 E 在同阶方阵中的地位类似于 1 在复数中的地位. 一个复数 a ≠ 0的倒数 a-1可以用等式 a a-1 = 1 来刻划. 类似地,我们引入
对于 n 阶单位矩阵 E 以及同阶的方阵 A,都有
定义: n 阶方阵 A 称为可逆的,如果有 n 阶方阵 B,使得
这里 E 是 n 阶单位矩阵.
根据矩阵的乘法法则,只有方阵才能满足上述等式.
对于任意的 n 阶方阵 A,适合上述等式的矩阵 B 是唯
一的(如果有的话).
定义: 如果矩阵 B 满足上述等式,那么 B 就称为 A 的逆矩阵,
记作 A-1 .
下面要解决的问题是:
在什么条件下,方阵 A 是可逆的?
如果 A 可逆,怎样求 A-1 ?
结论: ,其中
定理:若,则方阵A可逆,而且
推论:若,则.
元素的代数余子式位于第 j 行第 i 列
例:求二阶矩阵的逆矩阵.
例:求3阶方阵的逆矩阵.
解:| A | = 1,
则
方阵A可逆
此时,称矩阵A为非奇异矩阵
容易看出:对于n 阶方阵A、B,如果
那么A、B都是可逆矩阵,并且它们互为逆矩阵.
定理:若方阵A可逆,则.
推论: 如果 n 阶方阵A、B可逆,那么、、
与AB也可逆,且