文档介绍：放缩法:将不等式一侧适当放大或者缩小以达到证明目的。
放缩的方法有:
添加或者舍去一些项,如
将分子或者分母放大或者缩小
利用基本不等式
如,
利用常用结论
I)
II)
III)
IV)
V)真分式放缩: 假分式放缩:
例1. (1)
分析:可用放大和缩小分母来解
解:
(2)
解:
(3)
证明:1°
2°
变式①
证明:
法一:
1°
2°
法二:
1°;2°
3°,
变式②
分析:可以利用来证明,证明过程留给读者。
(4)
分析:利用
证明:
综上,
(5)
证明:,
,
(6)
分析:利用真假分式进行适当放缩
证明:,
,
综上,
(8)
分析:可以从通项入手。
通项:
证明:
下证:
综上,
换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易、化繁为简,常用的换元有三角换元和代数换元。
三角还原
例2.(1)已知
证明:令
(2) 已知
证明:
法一:
法二:令
(3)已知
证明:令()
,
(4)已知
分析:可以令,证明留给读者
整体换元及增量代换
例3.(1)已知
证明:令
(2)设
分析:令,将x,y,z,分别用a,b,c表示出来,依次代入原式,然后考虑用均值放缩。证明留给读者。
:有时候直接证明命题较难时,不妨采用间接证法——反证法。它是一种“真难则反”的策略。
证明:反设
①
同理可得②
③
①+②+③得:
4. 构造法:通过构造函数、图像与图形、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。
例5.(1)其中
求证:
证明:
(2) 已知
证明:
1°
2°
例6.(1)已知
分析:可以构造函数
证明:
法一:真分式放缩
法二:构造函数
设
(2) 求证:
证明:
法一:两边平方之后做差
法二:构造向量
(3)设
证明:构造图形法