文档介绍：第九章压杆稳定
§9-1 压杆稳定的概念
一、压杆失稳
细长压杆不能正常工作并非其强度不够,而是不能保持它原有的直线状态的平衡的现象。
二、临界力
使弹性压杆从直线状态平衡开始转变为曲线状态平衡的轴向压力称为临界力,用Pcr表示。
Q
P
P
Q
当P< Pcr时,压杆保持直线状态平衡;
当P> Pcr时,压杆过渡到曲线状态平衡。
施加一横向干扰力Q 。
撤除横向干扰力Q。
y
x
l
§9-2 细长压杆的临界力
一、两端铰支约束细长压杆的临界力
设距原点x处的任意截面的挠度为y。
在小变形前提下,挠曲线的近似微分方程为:
令
上式变为:
边界条件:
因y不恒等于零,
—欧拉公式
即
取
P
y
x
则弯矩方程为:
亦即
二、其它约束情况下的临界力
1、欧拉公式
μ—长度系数,取决于压杆两端的约束情况;
μl—相当长度,即相当于两端铰支细长压杆的长度。
球铰约束,由横截面图形最小惯性矩来确定临界力。
2、压杆的长度系数
压杆两端
约束情况
两端铰支
一端固定
一端自由
一端固定
一端铰支
两端
固定
长度系数μ
1
2
§9-3 中小柔度压杆的临界应力 欧拉公式的适用范围
一、临界应力和柔度
临界应力:临界力作用下压杆横截面上的平均应力。
令
—横截面图形对某一中性轴的惯性半径。
于是
令
—压杆柔度或细长比,无量纲量。反映了杆端约束情况、压杆长度、横截面形状和尺寸等因素对临界力的综合影响。
临界应力:
显然,不同的弯曲平面内,压杆的柔度值可能不同,但压杆总是在柔度最大的平面内失稳。
二、欧拉公式的适用范围
压杆的临界应力σcr不超过材料比例极限σP时欧拉公式才适用。
即
令
—材料比例极限柔度
则
当压杆的柔度不小于材料比例极限柔度时欧拉公式才适用,满足该条件的杆称为大柔度杆或细长杆。
当σcr> σP即λ< λ P时,称为中小柔度杆,压杆横截面上应力已超过材料的比例极限,不能用欧拉公式计算临界应力。
三、中小柔度杆的临界应力
1、当即时,称中柔度杆或中长杆,其中λ s为材料屈服极限σs所对应的柔度。
若取临界应力为直线公式:
其中a、b为与材料有关的常数,与应力同量纲,由实验确定。
对于塑性材料,
由
令
—与材料屈服极限σs相对应的柔度。
故当时用给定的经验公式计算临界应力。
在工程中一般按经验公式计算临界应力。
2、当即时,称为小柔度杆或粗短杆,压杆破坏不发生失稳现象,临界应力可取为材料屈服极限或强度极限。
临界应力:
四、临界应力图
临界应力和压杆柔度关系见临界应力图。
O
σcr
σs
σP
λs
λP
λ
σcr= σs
σcr= a-bλ
1)压杆的实际工作柔度λ≥λP时,其临界应力按欧拉公式计算;
2)压杆的实际工作柔度λs <λ< λP,临界应力按给定的经验公式计算;
3)压杆的实际工作柔度λ≤λs 时,取材料屈服极限或强度极限为临界应力。
§9-4 压杆稳定计算
压杆稳定计算包括压杆横截面选择、压杆稳定性校核、临界压力计算等问题。
一、压杆稳定条件
或
P—工作压力;
[Pcr]—稳定许用临界力;
Pcr—临界力;
[nst]—规定稳定安全系数;
nst—工作稳定安全系数。
1)工程实际中, [nst]通常要求比ns或大nb;
2)局部削弱的压杆,稳定性计算时横截面积A和惯性矩I仍按未削弱时的计算,但必须按“净”面积增加强度校核。
3)压杆稳定条件可用于校核稳定性、确定压杆工作压力、压杆截面尺寸、压杆长度、两端约束、安全系数、材料等。
即
二、解题步骤
1、根据支承情况等计算压杆的柔度λ;
2、必要时计算材料的比例极限柔度λ P和由给定的经验公式计算对应于材料屈服极限σs所对应的柔度λ s;
3、根据λ与λ P、λ s 之间的大小关系,由临界应力图确定计算临界应力的适宜公式并计算临界应力σcr和临界压力Pcr;
4、根据规定的稳定安全系数计算工作压力P;
5、必要时如压杆存在局部削弱等应增加强度校核。
三、例题
【例9-1】矩形截面木质压杆尺寸(单位为m)及端部支承情况如图示。弹性模量E=10GPa, λ P=59,压杆若为中柔度杆时临界应力按直线经验公式σcr=a-b λ计算,其中a=40MPa,b=,规定的稳定安全系数[nst]=3,求压杆安全工作的最大压力Pmax。
【解】1)计算压杆柔度
压杆可能在xz平面内失稳也可能在xy平面内失稳。
压杆横截面对中性轴y轴、中性轴z轴有不同的惯性半径,故有不同的柔度。
Pmax
x
4
0.