文档介绍：薇计算方法简介螆一、计算方法蒁现代科学技术的一般过程袂工程问题数学化(数学建模)(什么语言,能否计算机实现,连续型、离散型、随机型)罿数学问题数值化(算法与分析)膅数值问题机器化(程序设计)膁科学实验虿实际问题→数学模型→数学问题→数学问题的解→实际问题的解肈算法→计算方法→程序→数学问题的数值解→:研究用计算机求解各类数学问题的数值方法、理论及具体实现的相关问题。羁1)算法:由基本运算及其规定了运算顺序而构成的完整的解题步骤(计算数学的根本任务)螁2)算法分析膆可实现性----具体编程计算羄算法复杂性-----时间复杂性----计算时间的长短—能否满足实际要求蚂-----空间复杂性----存储量的大小---现有的机器能否满足袂收敛性---数值解是否收敛于精确饥解薈误差估计---能否达到要求,误差有多大蒃稳定性----算法稳定性:当定解条件有微小变化时,解得变化也很小。蒂----数值稳定性:舍入误差对算法的影响大小虿3)计算法发建立的好的算法应具有蚇第一,面向计算机,要根据计算机特点提供实际可行的有效算法,即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻辑运算,是计算机能直接处理的。***第二,有可靠的理论分析,能任意逼近并达到精度要求,对近似算法要保证收敛性和数值稳定性,还要对误差进行分析,这些都建立在相应数学理论基础上。膃第三,要有好的计算复杂性,时间复杂性好是指节省时间,空间复杂性好是指节省存储量,这也是建立算法要研究的问题,它关系到算法能否在计算机上实现。蚁第四,要有数值实验,即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外,还要通过数值试验证明是行之有效的。聿二、)误差分析薁2)线性代数方程组求解(直接接法、迭代解法)芀3)非线性方程求解肈4)矩阵特征值、特征向量的求法螆5)函数逼近(函数插值、数据拟合)蚂6)数值微分、数值积分莈7)微分方程的数值解法薇8)实际问题建模、求解举例(优化方法))初步掌握实际问题的建模方法、步骤;螁2)掌握基本算法,对一些实际问题能够建立其算法,并能用计算机求解(构造、实现);羇3)能用误差分析方法对结果进行误差分析,保证结果的可靠性。,计算方法课实行统一闭卷考试,希望从开始就引起足够重视。衿误差分析莆第一节误差的来源与分类羇除了极个别的情况外,数值计算总是近似计算,实际计算结果与理论结果之间存在着误差。数值分析的任务之一是将误差控制在一定的容许范围内或者至少对误差有所估计。薂一误差的来源节误差:精确值与近似值之差。:数学描述(模型)与实际问题的差蚄(建模中的近似,抽象、简化、理想化等):观测值与真实值之间的差。葿(参予计算的数据是观测得到的,观测仪器、设备、人的熟练程度引起):无线过程有限化所带来的误差。蒁在数学模型不能得到精确解时,通常要用数值方法求它的近似解,其近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差。例如,函数用泰勒多项式蒈(1)羈近似代替时,有误差羄(2)蒂其中在0与x之间。这种误差就是截断误差。:用计算机做数值计算时,由于计算机的字长有限,必须进行舍入运算,莇由此产生的误差。螄例如,,产生的误差。薄就是舍入误差。:由认为的原因所造成的误差。如公式写错、编程、输入出错等。螇例1---吕棒在温度时的实长,---吕棒在温度时的实长,蒅---吕棒在温度时的长计算值,计算公式为:莁模型---吕棒在随温度时的变化芁为观测常数,膆则-----模型误差,(实际上,与可能有微弱的关系,这里舍去了)膅若,则由,有莂这就是--用数值方法计算结果的范围(误差范围)。蒀二记号与记法袀---某一客观量羆---数学模型的准确解蒄---带有参量误差的数学模型的解薈---带有参量误差的数学模型某数值方法的精确解荿---用计算机所得的某数值方法的近似解蚆最后研究与的误差芁模型误差—观测误差—方法误差—舍入误差袁如果能够估计出螈则蒆观测误差和原始数据的舍入误差,就其来源说,有所不同,就其对计算结果的影响看,完全一样,数学描述和实际问题之间的模型误差,往往是计算工作者不能独立解决的,甚至是尚待研究的课题。基于这些原因,在数值计算方法课程中所涉及到的误差,一般指舍入误差(包括初始数据的误差)和截断误差。讨论它们在计算过程中的传播和对计算结果的影响;研究控制它们的影响以保证最终结果有足够的精度;既希望解决数值问题的算法简便而有效,又想使最终结果准确而可靠。莂第二节绝对误差和相对误差,有效数字聿一绝对误差和相对误差膈定义1设数(精确值)有一个近似值为,记***(1)莄称为近似值的绝对误差,简称误差。莁注意这样定义的误差可正可负,当它为正时,近