文档介绍：第四章中值定理与导数的应用§ 微分中值定理一、费马定理 1、函数极值 0 0 ( ) ( ) , ( ) f x O x x O x ? ???若 在有定义若对 0 0 0 ( ) ( )( ( ) ( )), ( ) ( ) f x f x f x f x f x f x ? ?有 或则称是的 0,x 一个极小(大)值此时称为极小(大)值点极大值和极小值统称为极值,取得极值的点统称为极值点【 4-1-1 】 2、费马定理(可导极值点必要条件) (1)定理 0 0 0 ( ) , , ( ) 0 f x x x f x ??若 在可导且为极值点则必有(2)证明 0 ( ) ( ), x f x 设为的极大值点极小值点类似处理则 0 0 0, ( ) ( ) ( ) x O x f x f x ??? ? ??使得当 时有 0 00 ( ) ( ) , 0 f x f x x x x x ?? ? ??当 时有 0 00 ( ) ( ) , 0 f x f x x x x x ?? ??当 时有【 4-1-2 】因此依函数在该点的可导以及函数极限的保号性有 00 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x f x f x x x ????? ?? ? ?? 00 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x f x f x x x ????? ?? ? ?? 0 ( ) 0 f x ?? ?【 4-1-3 】(3)定理中应注意的问题① 0 0 ( ) 0 ( ) f x x f x ??称 的点为的驻点或稳定点② 0 ( ) , f x x 定理条件中在可导不能省略如( ) 0 , ( ) 0 f x x x f x x ? ? ?在 处有极小值但在处不可导③ 0 0 ( ) 0 ( ) f x f x x x x ?? ? ?在 处有平行于轴的切线 0 ( ( ) 0) k f x ?? ??切线④定理仅是必要而不充分的条件,如 3 ( ) 0 (0) 0, 0 , f x x x f x ?? ? ??在 处有但不是极值点 3 ( ) ( , ) f x x ? ????因为 在严?????? 0 0 ( ) 0, f x x ??若有 则一定不是极值点【 4-1-4 】?、??( Rolle )中值定理 1、定理( ) [ , ] , ( , ) , ( ) ( ), f x a b a b f a f b ?设 在???在?可导且有( , ), ( ) 0 a b f ? ??? ? ?则 使得 2、证明( ) [ , ] f x a b ?在 ???( ) [ , ] f x a b M m ?在 ??在?大值和?小值(1) , ( ) ( ), M m f x C ? ?若 则?数( ) 0 f x ?? ?[ , ] a b ? ??一点???定理???因而此时????【 4-1-5 】(2) , M m ?若( ) ( ), f a f b ??( , ) , M m a b ??和??有一个是在??点处取得( ) ( , ) , f x a b 而 在?可导可导的?值点?定是极值点: ( , ), ( ) 0 a b f ? ??? ???依费马定