文档介绍：三角恒等变换的常用方法肖新勇解答三角函数问题,几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化, 将隐性问题明朗化。三角恒等变换的公式很多,主要有 同角三角函数的基本关系”、诱导公式”、和、差、倍、半角公式”等,这些公式间一般都存在三种差异,如角的差异、函数名的差异和运算种类的差异,只有灵活有序地整合使用这些公式, 消除差异、化异为同,才能得心应手地解决问题,这是三角问题的特点,也是三角问题难得高分”的根本所在。本文从六个方面解读三角恒等变换的常用技巧。一、 角变换角变换的基本思想是,观察发现问题中出现的角之间的数量关系, 把朱知角”分解成巳知角”的和、差、倍、半角”,然后运用相应的公式求解。例1已知cosx—一,4 527 ,sin2x2sinx一,求41tanx的值。【分析】考虑到巴知角”是x朱知角”是x和2x,注意到x可直接运用相关公式求出sinx和cosx。【解析】因为又因为cos0,所以sinxsinsincos—4cosx—4sin—47、210从而cosx-,= 1tanx【点评】(1)若先计算出cosx2875匝则在计算sinx时,要注意符号的选取;⑵10需要进行名变换的问题常常有明切弦互化”,但实际上,诱导cos2x,0),求f(x)ab的定义本题的另一种自然的思路是,从已知出发,用和角公式展开, 结合平方关系”,易出现计算错误。二、名变换名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换,显的特征,如已知条件中弦、切交互呈现时,最常见的做法是公式、倍角公式和万能置换公式,平方关系也能进行名变换。例2 已知向量a(1tanx,1),b(1sin2x域和值域;【分析】易知f(x)(1tanx)(1sin2xcos2x),这是一个切弦共存”且单、倍角共在”的式子,因此既要通过 切化弦”减少函数名称,又要用倍角公式来统一角,使函数式更简明。【解析】f(x)(1tanx)(1sin2xcos2x)1sinx12sinxcosx2cos2x1cosx2cosxsinxcosxsinx2cos2x由cosx0得,xk 一,kZ,2cos2x22所以,f(x)—,kZ,值域是2,2.【点评】本题也可以利用万能置换公式先进行 弦化切”,变形后再进行切化弦”、常数变换在三角恒等变形过程中,有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式, 以利于完善式子结构,运用相关公式求解,如1sin2xcos2x,1tan45,v'3tan§(1)求证:-———(2)化简:sin2x一3cos2x.【分析】第(1) 2 3sinxcosx和1■2 2 2sinxcosx把分子、分母都变成齐次式后进行转化;第(2)小题实际上是把同一个角的正弦、余弦的代数和化为熟悉的yAsinx的形式,有利于系统研究函数的图象与性质2 2 、3 6 6(sinxcosx) sinxcosx【解析](1)左边=―2 4 —(sinxcosx) sinxcosx3sin2xcos2x(sin2xcos2x)3匚~~2 2 2(2)原式=sin2xtan—cos2x3sin— sin2xcos—cos