文档介绍：第三章习题解答与问题
一、习题解答
2兀1 +3x2 +5x3 = 5
+4x2 +7x3 = 6 ；
X］ + 3x2 + 3x3 = 5
2兀］-4x2 + 2x3 - 4x4 = 3 —+10%2 + 2兀3 + 5兀4 = —5
2兀］+ 2%2 + 12兀3 — 5兀4 = —2
4 兀］+ 5兀2 — 5兀3 +12 兀4 = —4
「2
3
5
5_
「2 3
5
5 _
「2 3
5
5 _
3
4
7
6
今
-1/2
-1/2
-3/2
9
-1/2
-1/2
-3/2
1
3
3
5
3/2
1/2
5/2
-1
-2
约化增广矩阵
解
⑴
得上二角方程组
— — 一兀3 = -2
2兀］+ 3x2 + 5x3 = 5
_ %2
回代求解得,
'2
-4
2 -4
3 _
「2
-4
2
-4
3 _
-4
10
2 5
-5
9
2
6
-3
1
9
2
2
12 -5
-2
6
10
-1
-5
4
5
-5 12
-4
13
-9
20
-10
「2
-4
2
-4
3
「2
-4
2
-4
3 _
2
6
-3
1
2
6
-3
1
9
-8
8
-8
-8
8
-8
-48
79/2
-33/2_
-17/2
63/2
X\— — 4 ,
X2= 1 , X3= 2
(2)约化增广矩阵
得上三角方程组
2x1 - 4x2 + 2兀3 一 4x4 = 3
2x2 + 6x3 一 3x4 = 1 —8x3 + 8x4 = —8
— = —
回代求解得
X1 = 99/34,兀2 = 52/17, x3 = - 46/17 , x4 = - 63/17
H 0,经过高斯消元法一步后，A约化为
Q]] 6Z]
_0 A2_
证明A2是对称矩阵。
证设4 =（的）” x”，经过高斯消元第一步后,得（"-1）阶矩阵出=（如）“1）x（”一 1），其中
Sj = ai+ij+i — °ij+i
a\\
因为 A 是对称矩阵,所以偽+1 J+l= Qj+l, d+l，偽+1,1=j+1，j+1 = Qj+1, 1，故
i j+i,i i,«+i i
b» - aj+i,i+i °i,i+i - ai+i,j+i Q）+i,i =垢
a\\ an
所以矩阵A2是对称矩阵。
另证：由于高斯消元法一步后不改变矩阵A的第一行元素，所以可将原对称矩阵A写为
a Aj
形式。其中，A1是对称矩阵。利用Frobenius矩阵
T
A1 -mxa{
所以
A2 = A1 -mxa{ = Aj axa{
' «n
是对称矩阵。
X] + 2x2 + 3x3 = 1
＜ 5X] + 4*2 + IO*? = 0 3X] —*2 +”3 = 2
(1) 试用Gauss全主元法求解；(2)用Gauss列主元法求解。 解(1)用p=[l, 2, 3]记录未知元次序。由增广矩阵
1 2 3 1'
[A b]= 5 4 10 0
3 - 1 2_
在系数矩阵A中选取绝对值最大元fl23 = 10=交换第一行第二行，并交换第一列和第二列。
'5
4
10
o'
10
4
5
o'
[A
1
2
3
1
今
3
2
1
1
3
-
1
2
1
-
3
2
修改P,将P的第一元素和第三元素换位，置P<-[3, 2, l]o然后进行第一轮消元，得
10
4
5
0'
「10 4
5
0_
3
2
1
1
今
4/5
-1/2
1
1
-
3
2
-1/2
5/2
2
在系数矩阵的右下了矩阵中选取绝对值最大元033= 5/2o交换第二彳丁第三行，并交换第二 列和第第二列。
「10 4
5
0_
「10 4
5
0_
「10
5
4
0_
4/5
-1/2
1
9
-1/2
5/2
2
9
5/2
-1/2
2