文档介绍：•数学因地• 十•了黑・7 （2010年第7期•初中版） 63
水手、椰子和猴子
442001湖北省十堰市东风高中甘志国
•数学因地• 十•了黑・7 （2010年第7期•初中版） 63
•数学因地• 十•了黑・7 （2010年第7期•初中版） 63
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下面的问题⑴很古老，以各种形式不断地出现于不 同的年代.
五个水手被抛弃在荒岛上，为了提供食物他们采集 ，决定拿 出他自己的一份椰子:他把揶子分成相等的五堆，还发 现剩下一个,所以他就把这个额外的果子扔给了猴子, 水手醒了，并产生了和第一个水手一样的念头：把剩下 的椰子分成相等的五堆，也发现剩下一个，就扔给了猴 子， 水手也依次做了同样的事情，每个人都扔了一个椰子给 ，把剩下 的果子分成了相等的五堆，但这次一个果子也没多出 来•求原来这堆果子的最小数目.
要注意，这种问题与下面的问题⑵是不一样的：
一老汉为感激梁山好汉除暴安良，带了些千里马要送 ，他把带来的马匹的一半送给了 宋江,宋江收下马后，把1匹马作为回礼还给老汉;老汉又 去见户俊义,把剩下马的一半送给卢俊义，户俊义也把1 匹马作为回礼还给老汉;……一直送到108名好汉的最后 . 你知道老汉上山时一共带了多少匹千里马吗？
我们从后往前算•设送到第107名好汉后还剩下x 匹马，得
x —于 + 1 = 2 ,x =2.
这说明每次都没送出去，所以老汉上山时一共带了 2匹千里马.
为了求解原问题•设椰子原来是x个.
第一个水手取走了寺（一 1）个，留下辛（一 1）个.
类似地，第二个水手取走了
y[y（x-l） -1]=^^个椰子，留下来的个数是 16% - 36
25 _•
类似地，可求出第三个、第四个、第五个水手留下的 椰子数目分别是
64工-244 256第-1476 1024—8404
由题意知■最后一堆果子的数目一定是5的倍数, 因为可把它平均的分成5堆而不剩果子，所以
1024—8404
~3125
1024x-15625y = 8404 ①
因为 1024 = 2l0J5625 =5\得 1024 与 15625 互质, 所以方程①有整数解，下面用辗转相除法求此方程的一 组整数解：
15625 = 15 x 1024+265,
1024 =3 x265 +229,
265 =229 +36,
229=6x36 + 13,
36=2x13 + 10.
13=1 xlO+3,
10=3x3+1,
所以 1 =10-3x3 = 10-(13-1 xlO) x3 = 10x4-13 x3 = (36-2xl3) x4-13 x3
= 36x4 - 11 x 13 =36 x4 -11 x (229 -6 x36)= 36x70-11 x229 = (265 -229) x 70 - 11 x 229 =70 x