文档介绍：
函数的奇偶性(2)
【学习目标】
1．掌握函数的基本性质(单调性、最值和奇偶性)．
2．能应用函数的基本性质解决一些问题．
3．会运用函数图象理解和研究函数的性质．
练习 1：下列结论正确的是(
)
B
A．偶函数的图象一定与 y 轴相交
B．若奇函数 y＝f(x)在 x＝0 处有定义，则 f(0)＝0
C．定义域为 R 的增函数一定是奇函数
D．图象过原点的增函数(或减函数)一定是奇函数
练习 2：如果定义在区间[3－a,5]上的函数 f(x)为奇函数，
那么 a＝__________.
8
练习 3：设 f(x) 是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且当
x＞0 时，f(x)＝x2＋1，则 f(－2)＝__________.
－5
练习 4：已知当 x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1－x)．若 f(x)为
奇函数，则当 x∈(－∞， 0)时，f(x)＝__________；若 f(x)为偶
函数，则当 x∈(－∞， 0)时，f(x)＝__________.
x(1＋x)
－x(1＋x)
题型 1
函数奇偶性与单调性的关系
【例 1】 已知 f(x)是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，
判断 f(x)在(－∞，0)上是增函数还是减函数，并加以证明．
解：由偶函数的图象特征，可知：f(x)在(－∞，0)上是增函
数．用单调性定义证明如下：
设任意的 x1<x2<0，则－x1>－x2>0.
∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴f(－x1)<f(－x2)．
又∵f(x)是偶函数，∴f(－x1)＝f(x1)，f(－x2)＝f(x2)．
∴f(x1)<f(x2)，即 f(x)在(－∞，0)上是增函数．
函数的奇偶性与单调性密切相关，其关系如下
表所示：
【变式与拓展】
1．函数 f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且 f(x)在
(－∞，0)上是增函数，试讨论函数 f(x)在(0，＋∞)上的增减性，
并证明你的结论．
解：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
证明：任取 x1，x2 使 x2>x1>0，
则－x2<－x1< f(x)在(－∞，0)上是增函数，
∴f(－x2)<f(－x1)，又∵f(x)是奇函数，
∴f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)，
∴－f(x2)<－f(x1)，∴f(x2)>f(x1)．
∴f(x)在(0，＋∞)上也是增函数．
B
(x)是定义在R上的奇函数，给出下列命题：
（１）（２）（４）
题型 2
函数奇偶性与单调性的应用
【例 2 】 (2014 年广东二模) 定义在 R 上的偶函数 f(x) 在
(0，＋∞)上是增函数，且 f ＝0，则不等式 xf(x)>0 的解集是
(
)