文档介绍：Solving an inverse oroblem forthe heat eq ltionolving an lnverse ro lem tor 11e 11eat equatlon 1Dy total wiation gulariz ationmet hodt otal variat ion regularlz atlon me 110 A Dissertation Submitted to Southeast University FortheAcademic Degree ofMaster ofScience By LiXie Supervised by Liu Department ofMathematics Southeast University March,2013 东南大学学位论文独创性声明及使用授权的说明一、学位论文独创性声明本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知,除了文中特别加以标明和致谢的地方外,论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果,也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。二、关于学位论文使用授权的说明√签名:/p分日期y,孑.≥,扯东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档,可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外,允许论文被查阅和借阅,可以公布(包括刊登)论文的全部或部分内容。论文的公布(包括刊登)授权东南大学研究生院办理。_, :。万J‘,‘、丫肜.、丫摘要在很多自然科学和工程应用领域里,人们常常会遇到反演边界未知热流的问题,这是一类经典的热传导反问题。正问题是根据已知初边值条件来求区域温度场。反之,如果某些初边值信息不足或很难测得,区域温度场可以通过一些附加信息来间接求得,这就构成了热方程反问题。本文讨论如下热传导模型 f ut钏鼢0<伙2,0<K T {uz(o,z)=,(t),u(2,t)=0,0<t<T 【札(z,o):o, o<z<2. 对应的反问题,在此模型中,左端边界热流,(t),t∈Q=(0,T)未知,但是u(x,t)在0<z= zo<2处的温度分布9(t)是通过测量已知的,因此,我们的任务是用g(t)去反演,(t)。对于此类反问题我们通常用Tikhonov正则化方法进行求解,Tikhonov正则化泛函的一般形式为 T(jF)=去||K,一9112+西(,), 一般地,根据实际问题的不同,罚项西(.厂)有以下几种取法圣(,)=㈣羔z=/|f12dt, 西(,)=II,II刍。=/[Ifl2+If712]dt. (t)∈CP(n)(P≥1)时,上述两种罚项的选法将给出满意的反演结果,但是当,(t)∈ By(Q)c L1(Q)时,反演结果不尽人意。全变差正则化方法就是在这种背景下引入,它是对Tikhonov]E贝|j化方法的改进,罚项取为,(￡)的BV半范吣)=傩陋为了克服欧几里得范数在原点的不可微性,我们在罚项上做以下修改(卢是一个很小的正数) 西(f)--川羞J2+删￡. 相比于Tikhonov正则化方法,全变差正则化方法将近似解的求解范围从连续函数空间扩大到了有界变差函数空间,大大拓宽了正则化方法的使用范围。本文的结构如下:第一部分将所研究的问题转化为第一类积分方程的求解,讨论第一类积分方程的不适定性。第二部分给出Tikhonov正则化方法和全变差正则化方法的理论结果,包括泛函方程极小元的存在唯一性以及收敛性。第三部分我们将以具体的数值算例来验证前面的理论结果,在.,(￡)属于不同函数空间的情况下比较了两种正则化方法的反演结果。我们通过四个不同的数值例子,在数值上分析了全变差正则化解的相对误差对正则化参数Q,口的依赖关系,验证了固定点迭代方法的全局收敛性。关键词:热方程:反问题;不适定;Tikhonov正则化;全变差正则化;数值解。 Abstract In many natural science and engineering fields,one often encounters the problem of re- covering the unknown heat flow on the boundaryl which akind ofclassical inverse problem formathematical direct problem to find thetemperature fieldfrom the