文档介绍：判断抽象函数单调性的四种策略
抽象函数问题是指没有明确给出具体函数表达式的问题。这类问题对发展学生思维能
力，进行数学思想方法的渗透有较好的作用。 本文准备就四种常见的抽象函数单调性的判断
策略做一小结，供大家解题时参考。
1凑差策略
紧扣单调函数的定义，利用赋值，设法从题设中“凑出” “f(Xi)-f(X2)”，然后判断符号。
例1已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y尸f(x)+f(y),且当x>0时，f(x)>0，试判 断函数f(x)的单调性。
解：由 f(x+y)=f(x)+f(y)得，f(x+y)-f(x)=f(y)
令 x+y=x 2, x=x i,且 x1<x2,
则有 f(x2)-f(x i)=f(y) y=x2-x i>0, 1. f(y)=f(x 2-xi)>0,
即f(x i)<f(x 2),因此f(x)为增函数。
例2设函数f(x)的定义域为(0, +8),对任意正实数x、y均有f(xy尸f(x)+f(y),且当 x>1时f(x)>0 ,判断函数f(x)的单调性并说明理由。
解：由 f(xy尸f(x)+f(y)得，f(xy)-f(x)=f(y) 令 x+y=x i, x=x2,且 xi>x2>0, 则有 f(x i)-f(x 2)=f(y),
y=会〉i, f(y) = f(⑤A0
即f(x i)>f(x 2),因此f(x)为增函数。
2添项策略
瞄准题设中的结构特点，采用加减添项或乘除添项，以达到确定“ f(xi)-f(x2)”的符号
的目的。
例3 (题同例1)
解：设 x1<x2,则 x2-xi>0,
. ,当 x>0 时，f(x)>0 , 1- f(x 2-x i)>0
1. f(x 2)-f(x i)=f[(x 2-x i)+x i]-f(x i)=f(x 2-x i)+f(x i)-f(x i)=f(x 2-x i)>0 即f(x i)<f(x 2),因此f(x)为增函数。
例4 (题同例2)
解：设 0<xi<x2<+°°,贝U 二:>i xi
•.当 x>i 时 f(x)>0 , f (/) >0
••• f(x2) - f(xi) = f 咸 xi) - f(xi) = f (第 0
即f(x 2)>f(x i),因此f(x)为增函数。
3增量策略
由单调性的定义出发，假设 x1<x2,设x2=xi+ 8 ( 8 >0),从而与题设联系起来。
例5 (题同例1)
解：对任意的 Xi、X2,设 Xi<X2,且 X2=xi+ 6 ( 8 >0),
由题设f(X+y尸f(X)+f(y)得
f(X 2)-f(X i)=f (Xi+8 ) -f(X i)=f(X i)+f( 8 )-f(X i)=f( 6 ) 6 >0, .,.f( 6 )>0 ,
即f(X 2)>f(X i),因此f(X)为增函数。
例6设函数f(X)的定义域为 R,当x>0时，f(X)>1 ,且对任意的 X、yW R,均有
f(X+y)=f(X)f(y)成立。试判断函数 f(X)的单调性并说明理由。
解：对任意的 Xi、X2,设 Xi<X2,且 X2=X1+ 8 ( 8 >0),
则 f(X 2)-f(X i)=f (Xi+S) -f(X i)=f(X i)f(