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〖〗集合
【】集合的含义与表示
〔1〕集合的概念
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
〔2〕常用数集与其记法
表示自然数集,或表示正整数集,表示整数集,表示有理数集,表示实数集.
〔3〕集合与元素间的关系
对象与集合的关系是,或者,两者必居其一.
〔4〕集合的表示法
①自然语言法:用文字表示的形式来描述集合.
②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号表示集合.
③描述法:{|具有的性质},其中为集合的代表元素.
④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合.
〔5〕集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().
【】集合间的根本关系
〔6〕子集、真子集、集合相等
名称
记号
意义
性质
示意图
子集
〔或
A中的任一元素都属于B
(1)AA
(2)
(3)假设且,如此
(4)假设且,如此
或
真子集
AB
〔或BA〕
,且B中至少有一元素不属于A
〔1〕〔A为非空子集〕
(2)假设且,如此
集合
相等
A中的任一元素都属于B,B中的任一元素都属于A
(1)AB
(2)BA
〔7〕集合有个元素,如此它有个子集,它有个真子集,它有个非空子集,它有非空真子集.
【】集合的根本运算
〔8〕交集、并集、补集
名称
记号
意义
性质
示意图
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交集
且
〔1〕
〔2〕
〔3〕
并集
或
〔1〕
〔2〕
〔3〕
补集
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【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
〔1〕含绝对值的不等式的解法
不等式
解集
或
把看成一个整体,化成,型不等式来求解
〔2〕一元二次不等式的解法
判别式
二次函数的图象
一元二次方程的根
〔其中
无实根
的解集
或
的解集
〖〗函数与其表示
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【】函数的概念
〔1〕函数的概念
①设、是两个非空的数集,如果按照某种对应法如此,对于集合中任何一个数,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么这样的对应〔包括集合,以与到的对应法如此〕叫做集合到的一个函数,记作.
②函数的三要素:定义域、值域和对应法如此.
③只有定义域一样,且对应法如此也一样的两个函数才是同一函数.
〔2〕区间的概念与表示法
①设是两个实数,且,满足的实数的集合叫做闭区间,记做;满足的实数的集合叫做开区间,记做;满足,或的实数的集合叫做半开半闭区间,分别记做,;满足的实数的集合分别记做.
注意:对于集合与区间,前者可以大于或等于,而后者必须
,〔前者可以不成立,为空集;而后者必须成立〕.
〔3〕求函数的定义域时,一般遵循以下原如此:
①是整式时,定义域是全体实数.
②是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.
③是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.
④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1.
⑤中,.
⑥零〔负〕指数幂的底数不能为零.
⑦假设是由有限个根本初等函数的四如此运算而合成的函数时,如此其定义域一般是各根本初等函数的定义域的交集.
⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:假设的定义域为,其复合函数的定义域应由不等式解出.
⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进展分类讨论.
⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义.
〔4〕求函数的值域或最值
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求函数最值的常用方法和求函数值域的方法根本上是一样的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小〔大〕数,这个数就是函数的最小〔大〕值.因此求函数的最值与值域,其实质是一样的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法:
①观察法:对于比拟简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.
②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值围确定函数的值域或最值.
③判别式法:假设函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程,如此在时,由于为实数,故必须有,从而确定函数的值域或最值.
④不等式法:利用根本不等式确定函数的值域或最值.
⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的