文档介绍：初中三角函数〖考试要求〗通过实例认识锐角三角函数( sinA , cosA , tanA ),知道 30 0, 45 0, 60 0 角的三角函数值;会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它对应的锐角. 度数 sin α cos α tan α 30°2 12 33 3 45°2 22 2 1 60°2 32 13 正弦和余弦例1 已知 0 °≤α≤ 90° .( 1 )求证: sin 2 α+cos 2 α=1; (2 )求证: sin α+cos α≥ 1 ,讨论在什么情形下等号成立; (3 )已知 sin α+cos α=1 ,求 sin 2 α+cos 2 α的值. 证明(1) 如图 6-1 ,当0°<α< 90°时, sin α=BC/AB , cos α=AC/AB , 所以在这种情形下 A B C A B C 当α=0°时, sin α=0, cos α=1;当α=90 °, sin α=1, cos α=0. 所以在这两种情形下仍有 sin 2 α+cos 2 α=1. (2 )如图 6-1 ,当 0°<α< 90° 时, sin α=BC/AB , cos α=AC/AB .所以在这种情形下当α=0° 时, sin α+cos α=0+1=1 ;当α=90 ° 时, sin α+cos α=1+0=1 .所以当 0 °≤α≤ 90° 时,总有 sin α+cos α≥ 1, 当并且只当α=0°或α=90 ° 时,等号成立. (3 )由于已知 sina+cos α=1 .由( 2 )可知α=0°或α=90 ° ,所以总有 sin 2 α+cos 2 α=1. 例2 求证:对于 0 °≤α≤ 90°, 正切和余切证明(1 )当 0°<α< 90° 时,如图 6-2 , 当α=0° 时, tgα=0, sin α=0, cos α=1 .所以仍有 tgα= (2)α必须满足不等式: 0°<α< 90°. 如图 6-2 , 所以 tg α· ctg α=1. 例2 已知锐角α,且 tgα是方程 x 2 -2x-3=0 的一个根,求解: x 2 -2x-3=0 的两根为 3和-1 .这里只能是 tgα=3. 如图 6-3 ,由于 tgα=3 .因此可设 BC=3 , AC=1 ,从而证明: 如图 6-2 ,设 BC=a , AC=b , AB=c ,则所以原式成立. 点评这里α≠ 0°, 90°. 怎样理解锐角三角函数的概念? 答: 现行初中几何课本中给出锐角三角函数的定义, 是依据这样一个基本事实: 在直角三角形中,当锐角固定时,它的对边、邻边与斜边的比值是一个固定的值. 关于这点,我们看图 1 ,图中的直角三角形 AB 1C 1, AB 2C 2, AB 3C 3,…都有一个相等的锐角 A ,即锐角 A ,许许多多直角三角形中相等的那个锐角叠合在一起,并使一条直角边落在同一条直线上,, B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3 ∥…, ∵△ AB 1C 1 ∽△ AB 2C 2 ∽△ AB 3C 3 ∽…, 因此,在这些直角三角形中, ∠A 的对边与斜边的比值是一个固定的值. 根据同样道理,由“相似形”知识可以知道,在这些直角三角形中, ∠A