文档介绍：例谈基本不等式解题的技巧基本不等式不仅是高中数学课程的重要内容, 而且也是近几年高考的热点内容; 同时,基本不等式作为一种解题的重要工具,与其他数学知识易于交汇,所以,它越来越受各种高中数学考试命题者的青睐; 但在应用基本不等式解决问题时, 常常需要配合一定的变形与转化技巧, 既有难度又较为灵活. 就以上问题,笔者在平时的教学与解题中总结与归纳了几条技巧,以飨读者. 一、配凑例 1. 函数 y=x ( a-2x )( x>0 ,a 为大于 2x 的常数) 的最大值为. 解: ∵ a>2x ,∴ a-2x>0. f(x) min=4 则 y=x ( a-2x )=( 2x)?( a-2x )≤() 2=, 当且仅当 2x=a-2x ,即 x= 时等号成立, ∴ ymax=. 例 2.( 2011 年重庆卷?文) 若函数 f(x) =x+ ( x>2 )在 x=a 处取最小值,则 a=() + + 解: ∵ x>2 ,∴ x-2>0 则f(x)=( x-2 ) ++2 ≥+2=3 当且仅当 x-2= ,即 x=3 时等号成立, 此时 f(x) min=4 , a=3 , 、“1”的代换例 3.( 2015 年福建卷?文) 若直线+=1 ( a>0 , b>0 ) 过点(1, 1) ,则 a+b 的最小值等于( ) 解:由已知,得+=1 ,则 a+b= (+)( a+b ) =2++ ≥ 2+2=4 , 当且仅当 a=b=2 时取等号, ∴( a+b ) min=4 ,故选 C. 例 4. 函数 f(x) =+( 0<x< )的最小值为解:∵ 0<x< ,∴ 1-2x>0 ,且 2x+ ( 1-2x ) =1,则f(x) =+=[2x+ ( 1-2x )](+) =13++ ≥ 13+2=25 当且仅当= ,即 x= 时, f(x) min=25. 三、分离常数例 5. 函数 y=( x>-1 )的最小值为解: y=== ( x+1 ) ++5 ∵ x>-1 ,∴ x+1>0 ,∴( x+1 ) ++5 ≥ 2+5=9 ,当且仅当( x+1 ) = ,即 x=1 时等号成立, ∴ x=1 时, ymin=9. 四、换元例 、b、 c>0 ,求证: ++≥. 证明:令 a+b=x , a+c=y , b+c=z ,解得 a=, b=, c=则++=++ =( +++++-3 )≥( 2+2+ 2-3 )=( 2+2+2-3 )= 当且仅当 x=y=z ,即 a=b=c 时等号成立. 例 7.( 2009 年希望杯数学邀请赛高一第二试卷第Ⅱ类第 18 题)若+=4 ,则 2x+3y 的取值范围是解:令 u=,ν= ,则有 2x+1 ≥0,u≥0, 3y-2 ≥0, ν≥ 0 ,其中 u+ ν=4, u2+ ν 2=2x+3y-1 ,其中 2x+3y-1 ≥0, ∵ u2+ ν 2=( u+v ) 2-2u ν=16-2u ν≤ 16 ,且 0≤ 2u ν≤=8, ∴ u2+ ν2∈[8, 16] ,故 2x+3y=u2+ ν 2+1 ∈[9, 17].