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高考数列常考题型归纳总结
类型1
解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。
例:数列满足，，求。
解：由条件知：
分别令，代入上式得个等式累加之，即
④－③，得
即
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是等差数列
类型6 递推公式为与的关系式。(或)
解法：这种类型一般利用与消去或与消去进展求解。
例：数列前n项和.
〔1〕求与的关系；〔2〕求通项公式.
解：〔1〕由得：
于是
所以.
〔2〕应用类型4〔〔其中p，q均为常数，〕〕的方法，上式两边同乘以得：
，2为公差的等差数列，所以
变式:〔2006，某某,理,20本小题总分为12分)
正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an
解: ∵10Sn=an2+5an+6， ①∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)
当a1=3时，a3=13，a15=73a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3
变式: (2005,某某,文,22．本小题总分为14分〕
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数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式.
解：，
，两边同乘以，可得
令
…………
又，，
，
。
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类型7
解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与递推式比拟，解出,从而转化为是公比为的等比数列。
例:设数列：，求.
解：设，将代入递推式，得
…〔１〕如此,又，故代入〔１〕得
说明：〔1〕假如为的二次式，如此可设;(2)此题也可由 ,〔〕两式相减得转化为求之.
变式:〔2006，某某,文,22,本小题总分为14分〕
数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3…
(Ⅰ)令
(Ⅱ)求数列
(Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？假如存在，试求出 假如不存在,如此说明理由
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解：〔I〕由得
又
是以为首项，以为公比的等比数列
〔II〕由〔I〕知，
将以上各式相加得：
〔III〕解法一：
存在，使数列是等差数列
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数列是等差数列的充要条件是、是常数
即
又
当且仅当，即时，数列为等差数列
解法二：
存在，使数列是等差数列
由〔I〕、〔II〕知，
又
当且仅当时，数列是等差数列
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类型9
解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。
例：数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。
解：取倒数：
是等差数列，
变式:〔2006，某某,理,22,本大题总分为14分〕
数列｛an｝满足：a1＝，且an＝
求数列｛an｝的通项公式；
证明：对于一切正整数n，不等式a1·a2·……an<2·n！
解：〔1〕将条件变为：1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为
1－＝，公比，从而1－＝，据此得an＝〔n³1〕…………1°
〔2〕证：据1°得，a1·a2·…an＝
为证a1·a2·……an<2·n！
只要证nÎN*时有>…………2°
显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个nÎN*，有
³1－〔〕…………3°
用数学归纳法证明3°式：
n＝1时，3°式显然成立，
设n＝k时，3°式成立，
即³1－〔〕
如此当n＝k＋1时，
³〔1－〔〕〕·〔〕
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＝1－〔〕－＋〔〕
³1－〔＋〕即当n＝k＋1时，3°式也成立
故对一切nÎN*，3°式都成立
利用3°得，
³1－〔〕＝1－
＝1－>
故2°式成立，从而结论成立
类型10
解法：如