文档介绍：有限元分析第一讲
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§ 有限元方法概述
第一章 绪 论
一. 什么是有限元法(Finite Element Method)
有限元法是近似求解一般连续问题的数值方法。将连续体离散成成
2). 刚架结构——由“梁单元”组成
二. 承受拉/压作用的桁架
1. 杆单元受载与变形特点(等截面)
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刚度
由材料力学公式,可得
2. 桁架受载与变形
P2
A
B
C
D
F
E
对任一杆件,均可得出
P1
对桁架整体,可采用类似的公式
所有杆件的节点外载
整体刚度(矩阵)
各节点位移
问题:
[K]与各杆刚度ki的关系?
[K]?
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§ 弹簧系统的刚度矩阵
一. 单个弹簧的刚度矩阵
+
F1
F2
u1
u2
1
2
F1a
F2a
u1
2
F1b
u2
1
2
u2=0
根据线性迭加原理,可分解成两个简单的系统,然后再合成。
u1=0
F2b
1. 节点2固定，节点1移动
2. 节点1固定，节点2移动
3. 合成
节点1上的力
节点2上的力
A工况
b工况
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设：
1)作用力向量
2)位移向量
3)单元刚度矩阵
故：
1)单元刚度矩阵的意义
令:
则
则
令:
单元刚度矩阵中第i列的意义
使节点i产生单位位移（1），而使其他节点位移保持为零的情况下，作用在各节点上的力。
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3) 对称矩阵 关于主对角线对称。即：
4) 奇异矩阵 即所对应的行列式之值为0
2) 矩阵阶数 设单元自由度为n(即单元中所有结点的位移量个数)，
则单元刚度矩阵为n阶方阵。
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二. 弹簧组的刚度矩阵
F1
F2
u1
u2
1
2
F3
u3
F1a
F2a
u1
1
2
F3a
F1b
F2b
u2
1
2
F3b
F1c
F2c
1
2
F3c
u3
u2=0
u3=0
3
3
3
u1=0
u3=0
u1=0
u2=0
可分解成三个简单的系统
1. 节点2,3固定
2. 节点1,3固定
ka
kb
ka
kb
ka
kb
ka
kb
3. 节点1,2固定
3
a
b
c
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4. 合成
写成矩阵形式:
整体刚度矩阵:
[K]的性质——与单元刚度矩阵类似
1)总体刚度矩阵的意义——总体刚度矩阵中第i列的意义
使节点i产生单位位移，而使其他节点位移保持为零的情况下，作用在各节点上的外力。
2) 矩阵阶数 （结点数×结点自由度）阶方阵。
本例中：结点数为3，结点自由度为1，故[K]为3阶方阵
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三. 由弹簧单元刚度矩阵迭加成弹簧组的刚度矩阵
、二的受力—位移方程(注意节点编号顺序)
单元1
单元2
3) 奇异矩阵 即所对应的行列式之值为0
注意， 是作用于单元节点上的力，对于单元而言，是外力，但对整体而形，则是内力。故不能将单元节点力 与节点上的载荷 混淆。但两者之间存在一定关系——力的平稳关系。
在节点处取一微小段
F2
1
2
ka
kb
-F22
-F21
F21
F22
F1
-F11
F11
F3
F32
3
-F32
2
2
1
1
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1节点
2节点
3节点
3. 方程扩展
参照
故应将单元受力方程扩展成3阶
单元一
（2-1）
由位移连续性质，得：
单元二
（2-2）
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4. 刚度矩阵迭加
(2-1)+(2-2)得：
整体刚度矩阵
平衡关系
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★ 刚度矩阵迭加的节点编号法
对较复杂的系统，一般不采用方程扩展的方法，而采用“按节点编下标，相同下标刚度元素相加”的办法（即“相邻单元的相同结点的同分量相迭加