第1章行列式线性代数及其应用.ppt

文档介绍：第1章行列式线性代数及其应用
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第1章 行列式
行列式是线性代数的一个重要组成部分. 它不仅是研究矩阵理论、线性方程组求解等问题的重要工具，而且在数学的许多分支及经济、管理、工程技术等领域有着极其广行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积 .
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由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中n ，可以证明
定理: n阶行列式D=det (aij) 的项可以写为
其中i1i2…in和j1 j2 …jn都是n级排列 .
或
另一定义形式
另一定义形式
推论:n阶行列式D=det (aij) 的值为
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用定义计算
思考练习 （n阶行列式定义）
答案
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内 容 回 顾
n阶行列式定义：
上三角行列式的值
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n阶行列式的性质
对多“0”的或是阶数较低(二、三阶)的行
列式利用定义计算较为容易, 但对一般的、
高阶的（n4）行列式而言,直接利用定义计
算很困难或几乎是不可能的 . 因而需要讨论
行列式的性质，用以简化计算.
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如果将行列式D的行换为同序数的列，得到的新行列式称为D的转置行列式，
转置行列式定义：
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性质1 行列式与它的转置行列式值相等.（D=DT）
证：事实上,若记 DT=det(bij),则
解
例1 计算行列式
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性质2 互换行列式的两行(rirj)或列(cicj)，行列式的值变号 .
推论 若行列式D的两行（列）完全相同,则D=0 .
性质3 行列式某一行（列）的所有元素的公因子可
以提到行列式符号的外面，即
推论 (1) D中一行(列)所有元素为零，则D=0；
(2) D的两行(列)对应元素成比例，则D=0.
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性质4 若行列式 某一行(列)的所有元素都是两个数的和,则此行列式等于两个行列式的和. 这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即
证
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性质5 行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以数 k加到另一行(列)的相应元素上,行列式的值不变,即
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例2 计算行列式
解
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解
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解
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例3 计算n阶行列式
解(2)
解(3)
解(1)
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解(1)
注意到行列式各行(列)元素之和等于x+(n-1)a,有
返
回
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解(2)
注意到行列式各行元素之和等于
有
返
回
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解 (3)
返
回
箭形行列式
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例4 证明
证
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证
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思考练习 （行列式的性质）
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思考练习（行列式性质答案）
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=右边
思考练习（行列式性质答案）
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节 行列式按行（列）展开
（列）展开
余子式与代数余子式
在n阶行列式
中，划去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原来的顺序构成的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式，记作Mij；
而Aij=(-1)i+jMij称为元素aij的代数余子式.
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例1 求出行列式
解
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考察三阶行列式
A11
A13
A12
三阶行列式可以表示为某一行(列)元素与其对应代数余子式的乘积之和.
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行列式按一行（列）展开定理
n阶行列式
等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即
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证
(i)D的第1行只有元素a110，其余元素均为零,即
而 A11=(-1)1+1M11=M11 ,故D= a11A11 ;
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(ii)当D的第i行只有元素aij0时，即
将D中第i行依次与前i-1行对调,调换i-1次后位于第1行
D中第j列依次与前j-1列对调,调换j-1次后位于第1列
经(i-1)+(j-1)= i+j-2