文档介绍：直线和圆锥曲线基本题型
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
例题 1、已知直线 l : y
kx 1
与椭圆 C : x2
y2
1始终有交点， 求 m 的取值范围
率为
a
b
2
分别为 A1(-2,0),A 2(2,0) 。
（I ）求椭圆的方程；
（II ）若直线 l : x t(t 2) 与 x 轴交于点 T, 点 P 为直线 l 上异于点 T 的任一点，直线 PA1,PA2 分别与椭圆交于 M、N点，试问直线 MN是否通过椭圆的焦点并证明你的结论
解：（I ）由已知椭圆 C的离心率 e
c
3 ， a
2, 则得 c
3, b
1。从而椭圆
a
2
的方程为 x2
y2
1
4
（ II
）设 M ( x1 , y1 ) ， N ( x2 , y2 ) ，直线 A1 M
的斜率为 k1
, 则直线 A1 M 的方程为
y k1 ( x
2) ，由
y
k1 ( x
2)
消 y 整理得 (1
2
2
16k2 x
2
4 0
Q 2和 x1
x
2
4 y
2
4
4k1
) x
16k1
是方程的两个根，
2x1
16k12
4
1
4k
2
1
则 x
2 8k12
， y1
4k1
，
即点 M 的坐标为
1
1
4k12
1
4k12
2
2 8k 4k
( 12, 12)，
同理，设直线
8k
2
2
,
4k
)
A2N的斜率为 k2，则得点 N 的坐标为 (
2
2
2
2
1
4k2
1
4k2
Q yp k1 (t 2), y p
k2 (t 2)
k1
k2
2 ，
k1
k2
t
Q 直线 MN的方程为： y
y1
y2
y1
，
x
x1
x2
x1
x2 y1
x1 y2
令 y=0，得 x
y2
y1
，将点 M、N的坐标代入， 化简后得： x
4 又 Q t
2 ，
t
0
4
2 Q 椭圆的焦点为 ( 3, 0)
4
3 ，即 t
4
3 故当 t
4
3 时， MN过椭圆
t
t
3
3
的焦点。
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题
2
2
例题 4、已知点 A、B、 C 是椭圆 E： x2
y2
1
(a b
0) 上的三点，其中点
a
b
A(2
3,0)
uuur
uuur
uuur
uuur
是椭圆的右顶点， 直线 BC过椭圆的中心 O，且 AC
BC
0 ，BC
2AC ，
如图。
(I)
求点 C的坐标及椭圆 E 的方程；
若椭圆 E 上存在两点 P、Q，使得直线 PC与
直线 QC关于直线 x
3 对称，求直线 PQ的斜率。
解： (I)
uuur
uuur
Q BC
2
AC ，且 BC过椭圆的中心 O
uuur
uuur
uuur uuur