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【课
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【课 题】直线与平面垂直（3）
【教学目标】
1、理解正射影的有关概念；
2、掌握三垂线定及逆定理；
3、掌握三垂线定理及逆定理的简单应用。
【教学重点】
【教学难点】
复面垂直的定义、判定和简单性质
讲解新课
（一）正射影
自一点P向平面α引垂线，垂足P`叫做点P在平面α内的正射影（简称射影）。如果图形F上的所有的点在一平面内的射影构成图形F`，则F`叫做图形F在这个平面内的射影。
如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那么这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。斜线上一点与斜足间的线段的长叫做斜线段。
如图，PO⊥α，O∈α，点O是点P在α内的射影，PO是点P到α的垂线段；PA∩α=A，PA不垂直α，直线PA是α的一条斜线，点A是斜足，线段PA是点P到α的斜线段.
直线的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.
线段的射影：垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影.
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AB⊥α，直线BC是斜线AC在α内的射影，线段BC是斜线段AC在α内的射影.
（二）两个重要结论.
（1）平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而这点到这个平面的斜线段有无数条.
（2）斜线上任意一点在平面内的射影，一定在斜线的射影上.
（三）三垂线定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
已知PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α内的射影，且aα，a⊥AO，求证：a⊥PO.
证明：∵PA⊥α，∴PA⊥a
又a⊥OA，PO∩OA=O
∴a⊥平面PAO
∴a⊥PA
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.
定理和逆定理可以用符号表示如下：
设l是平面α的斜线，l′是l在α内的射影，直线aα，a⊥l′a⊥l.
【总结】
1、三垂线定理及逆定理中都涉及四线PA、PO、AO、a，但注意的是PO、AO、a三线间关系；涉及的四线、三个垂直关系有：
①垂线PA和平面α的垂直；
②射影AO和直线a垂直；
③斜线PO和直线a垂直.
这也是为什么定理叫“三垂线定理”.
2、注意“平面内”三个字的重要性.
3、利用定理的关键要善于从各种图形中找出“平面的垂线”“平面的斜线”“斜线的射影”