# 常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答.pdf

1. (3x 2 −1)dx + (2x +1)dy = 0

∂P ∂Q ∂P ∂Q

∂y ∂x ∂y ∂x

2. (x + 2y)dx + (2x + y)dy = 0

∂P ∂Q ∂P ∂Q

∂y ∂x ∂y ∂x

x 2 y 2

2 2

3. (ax + by)dx + (bx + cy)dy = 0 (a,b 和 c 为常数).

∂P ∂Q ∂P ∂Q

∂y ∂x ∂y ∂x

ax 2 cy 2

2 2

4. (ax − by)dx + (bx − cy)dy = 0 (b ≠ 0)

∂P ∂Q ∂P ∂Q

∂y ∂x ∂y ∂x
- 1 -

5. (t 2 +1)cosudu + 2 t sin udt = 0

∂P ∂Q ∂P ∂Q

∂t ∂x ∂y ∂x

6. (ye x + 2e x + y 2 )dx + (e x + 2xy)dy = 0

∂P ∂Q ∂P ∂Q

∂y ∂x ∂y ∂x

y
7. ( + x 2 )dx + (ln x − 2y)dy = 0
x
y

x
∂P 1 ∂Q 1 ∂P ∂Q

∂y x ∂x x ∂y ∂x
y

x
x 3

3

8. (ax 2 + by 2 )dx + cxydy = 0 (a,b和c为常数)

∂P ∂Q ∂P ∂Q

∂y ∂x ∂y ∂x
- 2 -

ax 3

3

2s −1 s − s 2
9. ds + dt = 0
t t 2
2s −1 s − s 2

t t 2
∂P 1− 2s ∂Q 1− 2s ∂P ∂Q

∂t t 2 ∂s t 2 ∂y ∂x
s − s 2

t

10. xf (x 2 + y 2 )dx + yf (x 2 + y 2 )dy = 0, 其中 f (⋅) 是连续的可微函数.

∂P ∂Q ∂P ∂Q

∂y ∂x ∂y ∂x

- 3 -

1. 求解下列微分方程,并指出这些方程在平面上的有意义的区域::
dy x 2
(1) =
dx y

dy x 2
(2) =
dx y(1+ x 3 )
x 2

1+ x 3

dy
(3) + y 2 sin x = 0
dx

dy

y 2

1+ (c + cos x)y = 0 .

dy
(4) = 1+ x + y 2 + xy 2 ;
dx
dy

1+ y2
x 2