常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答.pdf

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常微分方程教程(第二版)-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-1 -习题2-1判断下列方程是否为恰当方程,并且对恰当方程求解:1.0)12()13(2=++?dyxdxx解:13),(2?=xyxP,12),(+=xyxQ,则0=??yP,2=??xQ,所以xQyP??≠??即,原方程不是恰当方程.2.0)2()2(=+++dyyxdxyx解:,2),(yxyxP+=,2),(yxyxQ?=则,2=??yP,2=??xQ所以xQyP??=??,即原方程为恰当方程则,0)22(=?++ydyxdyydxxdx两边积分得:.22222Cyxyx=?+3.0)()(=+++dycybxdxbyax(a,b和c为常数).解:,),(byaxyxP+=,),(cybxyxQ+=则,byP=??,bxQ=??所以xQyP??=??,即原方程为恰当方程则0,axdx bydx bxdy cydy+++=()两边积分得:.ybxyax=++4.)0(0)()(≠=?+?bdycybxdxbyax解:,),(byaxyxP?=,),(cybxyxQ?=则,byP?=??,bxQ=??因为0≠b, 所以xQyP??≠??,即,原方程不为恰当方程常微分方程教程(第二版)-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-2 -5.0sin2cos)1(2=++udttudut解:,cos)1(),(2ututP+=ututQsin2),(=则,cos2uttP=??,cos2utxQ=??所以xQyP??=??,即原方程为恰当方程则,0cos)sin2cos(2=++uduudttudut两边积分得:.sin)1(2Cut=+6.0)2()2(2=++++dyxyedxyeyexxx解:xyeyxQyeyeyxPxxx2),(,2,(2+=++=,则,2yeyPx+=??,2yexQx+=??所以xQyP??=??,即原方程为恰当方程则,0])2()[(22=++++dyxyedxyyedxexxx两边积分得:.)2(2Cxyeyx=++7.0)2(ln)(2=?++dyyxdxxxy解:,2ln),(),(2yxyxQxxyyxP?=+=则,1xyP=??,1xxQ=??所以xQyP??=??,即原方程为恰当方程则02)ln(2=?++ydydxxxdydxxy两边积分得:23ln3yxyx?+.C=8.),(0)(22为常数和cbacxydydxbyax=++解:,),(,),(22cxyyxQbyaxyxP=+=则,2byyP=??,cyxQ=??所以当xQyP??=??,即cb=2时,原方程为恰当方程常微分方程教程(第二版)-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-3 -则0)(22=++cxydydxbydxax两边积分得:233bxyax+.C=而当cb≠2时原方程不是恰当方程.9.01222=?+?dttssdsts解:,),(,12),(22tssstQtsstP?=?=则,212tstP?=??,212tssQ?=??所以xQyP??=??,即原方程为恰当方程,两边积分得:Ctss=?2.10.,0)()(2222=+++dyyxyfdxyxxf其中)(?f是连续的可微函数.解:),(),(),(),(2222yxyfyxQyxxfyxP+=+=则,2fxyyP′=??,2fxyxQ′=??所以xQyP??=??,即原方程为恰当方程,两边积分得:22()f x y dx C+=∫,即原方程的解为CyxF=+)(22(其中F为f的原积分).常微分方程教程(第二版)-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-4 -习题2-21. 求解下列微分方程,并指出这些方程在平面上的有意义的区域::(1)yxdxdy2=解:原方程即为:dxxydy2=两边积分得:0,2332≠=?yCxy.(2))1(32xyxdxdy+=解:原方程即为:dxxxydy321+=两边积分得:1,0,1ln2332?≠≠=+?xyCxy.(3)0sin2=+xydxdy解:当0≠y时原方程为:0sin2=+xdxydy两边积分得:0)cos(1=++yxc.又y=0也是方程的解,包含在通解中,则方程的通解为0)cos(1=++yxc.(4)221xyyxdxdy+++=;解:原方程即为:2(1 )1dyx dxy= ++两边积分得:cxxarctgy++=22,即)2(2cxxtgy++=.常微分方程教程(第二版)-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-5 -(5)2)2cos(cosyxdxdy=解:①当02cos≠y时原方程即为:dxxydy22)(cos)2(cos=两边积分得:2 2 2 2sin 2tg y x x c??=.②y2cos=0,即42ππ+=ky也是方程的解.(Nk∈)(6)21ydxdyx?=解:①当1±≠y时原方程即为:xdxydy=?21两边积分得:cxy=?lnarcsin.②1±=y也是方程的解.(7).yxeyexdxdy+?=?解.原方程即为:dxexdyeyxy)()(??=+两边积分得:cexeyxy++=+?2222,原方程的解为:ceexyxy=?+??)(222.2. 解下列微分方程的初值问题.(1),03cos2sin=+ydyxdx3)2(ππ=y;解:两边积分得:cyx=+?33sin22cos,即cxy=?2cos33sin2因为3)2(ππ=y,所以3=c.常微分方程教程(第二版)-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-6 -所以原方程满足初值问题的解为:32cos33sin2=?xy.(2).0=+?dyyexdxx,1)0(=y;解:原方程即为:0=+ydydxxex,两边积分得:cdyydxexx=+?2)1(2,因为1)0(=y,所以21?=c,所以原方程满足初值问题的解为:01)1(22=++?dyydxexx.(3).rddr=θ,2)0(=r;解:原方程即为:θdrdr=,两边积分得:cr=?θln,因为2)0(=r,所以2ln=c,所以原方程满足初值问题的解为:2lnln=?θr即θer2=.(4).,1ln2yxdxdy+=0)1(=y;解:原方程即为:dxxdyyln)1(2=+, 两边积分得:3ln3yy xxxc+ +?=,因为0)1(=y,所以1=c,所以原方程满足初值为:3ln 13yy xxx+ +?=(5).321xydxdyx=+,1)0(=y;解:原方程即为:dxxxydy231+=,常微分方程教程(第二版)-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案-7 -两边积分得:cxy++=??22121,因为1)0(=y,所以23?=c,所以原方程满足初值问题的解为:311222=++yx.3. 解下列微分方程,并作出相应积分曲线的简图.(1).xdxdycos=解:两边积分得:cxy+=sin.积分曲线的简图如下:(2).aydxdy=,(常数0≠a);解:①当0≠y时,原方程即为:dxaydy=
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