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实数
平方根的有关概念
夯实基础
算②根据立方根的概念可知：“5是125的立方根”，反过来说“125的立方根是5”也正确。
③判断一个数是不是某数的立方根，就看是不是等于。
例1：求下列各数的立方根：
；（2）；（3）。
立方根的性质
正数只有一个正的立方根；
负数只有一个负的立方根；
零的立方根为零。
温馨提示
①一个数的立方根是唯一的。
②正数的奇次方根时正数，负数的奇次方根是负数，零的任何正整数次方根均为0。
③、、，公式中的可取任意数。
④当两个数相等时，这两个数的立方根相等，反过来，当两个数的立方根相等时，这两个数也相等。即若
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，则；若，则。
例2：下列说法中错误的有（ ）
①任何一个数都有立方根；
②14的立方根是；
③3是27的立方根；
④正数的平方根有两个，立方根也有两个。
开立方
求一个数的立方根的运算叫做开立方。
例如：8的立方根为。
温馨提示
①被开方数的数可以是正数、负数和0。
②开立方运算与立方运算是互为逆运算的关系，负数（在实数范围内）不能开平方但可以进行开立方运算。
③求一个负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，然后取它的相反数，即
。
④求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根。
例3：求下列各式的值。
；（2）；（3）；（4）。
立方根与平方根的区别和联系
立方根与平方根的不同点：
定义不同：平方根的概念强调“平方”二字，立方根的概念强调“立方”二字，即平方根的逆运算是平方，立方根的逆运算是立方。
表示方法不同：平方根用“”表示，根指数2可以省略，写成“”；立方根用“”表示，根指数3不能省略，更不能写成“”。
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性质不同：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；而任何一个数的立方根却只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零。
的取值范围不同：平方根中的取值范围必须是非负数，而立方根中的取值为任何数，即正数、负数、零均可。
立方根与平方根的相同点：
都是求根：平方根与立方根的定义都是建立在乘方概念的基础上。在指数式中，当时，求的值就是求的平方根；当时，求的值就是求的立方根。这就表明无论是求平方根还是求立方根，都是已知指数和幂，求底数。
都与乘方知识有关：不论是求平方根还是求立方根，都属于开方运算。开方是乘方的逆运算，开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算。
零的平方根与立方根都是零。
都可以归结为非负数的非负方根来研究：平方根主要是通过算术平方根来研究；而负数的立方根也可以通过转化为整数的立方根来研究。
掌握方法
立方根性质的应用方法
正数、0、负数都有立方根，且只有一个立方根，一个数的立方根的符号与这个数的符号是一致的；
一个数的立方的立方根、一个数的立方根的立方都等于其本身；
互为相反数的立方根仍互为相反数，互为相反数的立方仍互为相反数。
例1：若，求的值。
利用立方根的概念解方程的方法
正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；0的立方根是0。在解方程时，利用立方根的定义进行开立方，从而求出未知数的值，在求立方根时，常需转化为的形式，也常常将中的看作一个整体。
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例2：求下列各式中的值：
；（2）；
（3）；（4）。
三．方根中小数点移动规律的应用
在开方运算中，被开方数的小数点移动时，其方根的小数点相应地移动是有规律的：（1）在开平方运算中，被开方数的小数点向左（右）移动两位时，其平方根的小数点向左（右）移动一位；（2）在开立方运算中，被开方数的小数点向左（右）移动三位时，其立方根的小数点向左（右）移动