文档介绍：第一节微分中值定理一、罗尔(Roll) 定理 :设函数)(xf 在点 0x 的某邻域)( 0xU 内有定义,并且在 0x 处可导,如果对任意的)( 0xUx?,有)()( 0xfxf?(或)()( 0xfxf?),那么 0)( 0 /?xf 。 :如果函数)(xfy?满足: (1)闭区间?? ba, 上连续, (2)在?? ba, 内可导, (3)且在区间端点处的函数值相等,即)()(bfaf?。那么在?? ba, 内至少存在一点?(ba???),使得 0)( /??f 。注:罗尔定理的条件是充分条件,即如果函数)(xfy?不满足定理的任何一个条件,定理的结论可能成立,也可能不成立。例1:试分析下列函数在各自指定区间上的性态: (1)函数 xy?,区间?? 2,1 ;(2)函数? 2,1 21,????x xxy ,区间?? 2,1 (3)函数 xy?,区间?? 1,1?;(4)函数 Sinx y?,区间?? 4 3,0 ?(5)函数 Sinx y?,区间????,?; (6)函数??????? 4 3 4 3,0 0, ??x x Sinx y ,区间?? 4 3,0 ?; 函数 Sinx y?,在区间???,0 上连续,在区间???,0 内可导,且0)()0(???yy , ?????,02 ???,使得?? 0 /??y 。二、拉格朗日(Lagrange) 中值定理定理 2:如果函数)(xfy?满足: (1)在闭区间?? ba, 上连续, (2)在?? ba, 内可导, 那么在?? ba, 内至少存在一点?(ba???),使等式) )(()()( /abfafbf????成立。注:显然,当)()(bfaf?时,)拉格朗日中值定理即为罗尔定理,故罗尔定理为拉格朗日中值定理的特殊情形。 y如函数 2xy?,在区间?? 1,0 上连续,在区间?? 1,0 内可导,且, ?? 1,02 1????,使得?? 0 /??y 。注:若取 xa?、xxb???,有xfxfxxfy???????)()()( /?(?介于 x 与xx??之间) xxxfxfxxfy?????????)()()( /?(10???) 上述公式称为拉格郎日有限增量公式。推论 1:如果函数)(xf 在区间 I 上的导数恒为零,那么函数)(xf 在区间 I 上是一个常数。推论 2:如果函数)(xf 与)(xg 在区间 I 上的导数恒相等,那么函数)(xf