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均值不等式应用
2为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱〔如图〕，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质后数控机床的盈利额为y万元.
〔1〕写出y与x之间的函数关系式；
〔2〕从第几年开始，该机床开始盈利〔盈利额为正值〕；
(3 ) 使用假设干年后，对机床的处理方案有两种：
(i )当年平均盈利额到达最大值时，以30万元价格处理该机床；
(ii )当盈利额到达最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由.
1. 汽车每小时的运费成本是 a+bV²〔V≤C〕；
全程运输成本是 (a+bV²)(S/V) ＝ (aS/V) + (bSV) ≥ 2S√(ab) ；
当 aS/V = bSV ，即 V = √(a/b) 时，等号成立。
已知 a＜bC² ，可得：√(a/b) ＜ C ，满足 V≤C 。
所以，要使全程
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运输成本最小，汽车应该以 √(a/b) 的速度行驶。
2解法一：设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y，则由条件y=(k＞0为比例系数)其中a、b满足2a+4b+2ab=60 ①
要求y的最小值，只须求ab①(a+2)(b+1)=32(a＞0,b＞0)且ab=30–(a+2b)
应用重要不等式a+2b=(a+2)+(2b+2)–4≥
∴ab≤18，当且仅当a=2b时等号成立将a=2b代入①得a=6,b=3.
故当且仅当a=6,b=3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.
3．解：设铁栅长为米，一堵砖墙长为米，则顶部面积为
依题设，，由基本不等式得
，
，即，故，从而
所以的最大允许值是100平方米，
取得此最大值的条件是且，求得，即铁栅的长是15米。
4. ⑴由A直接游向B处的时间为〔秒〕。
由A经D到B的时间为〔秒〕，而，
因此，救生员的选择是正确的。
⑵设∠BCD=α，则CD=300cotα，BC=，AC=300-300cotα。
于是从A经C到B的时间为
==
=≥=
当且仅当，即时，
上式等号成立。
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此时，CD=〔米〕时，t取得最小值为秒。
因此，点C应选在沿岸边AD，距D点米处，才能使救生员从A到B所用时间最短，最短时间为秒。
5. 〔1〕由，当n＝0时，由题意，可得k＝8，所以
． 〔2〕由
．当且仅当
，即n＝8时取等号，所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元
6. 〔1〕在图①中，设∠，AB＝BC＝a．则，由于S、a、皆为正值，可解得．当且仅当，即＝90°时取等号．所以，的最小值为．在图②中，设AB＝CD＝m，BC＝n，由∠BAD＝60°可求得AD＝m＋n，，解得．
，的最小值为．当且仅当，即时取等号． 〔2〕由于，则的最小值小于的最小值．所以在方案②中当取得最小值时的设计为最正确方案
7. 1〕设年后盈利额为元
令，得，
从第3年开始盈利. …8分
2〕 ①平均盈利
这种情况下，盈利总额为万元，
此时.…