文档介绍：逻辑斯蒂方程逻辑斯蒂方程( Logistic Equation ) [ 编辑] 逻辑斯蒂方程的推导当一种新产品刚面世时, 厂家和商家总是采取各种措施促进销售。他们都希望对这种产品的推销速度做到心中有数, 这样厂家便于组织生产, 商家便于安排进货。怎样建立数学模型描述新产品推销速度呢? : 1. ,对这种产品的需求也饱和了,设饱和水平为 a; 2. 假设在时刻 t ,社会对产品的需求量为 x=x(t) ,需求的增长速度 dx /dt 正比于需求量 x(t) 与需求接近饱和水平的程度 a-x(t) 之乘积,记比例系数为 k; 根据上述实际背景的两个特征,可建立如下微分方程: .......................(1) 分离变量,得: 两边积分,得: 其中: 从而,通解为: ......(2) 其中,B和b 为正常数,可由初始条件确定。式(1) 称为逻辑斯蒂方程(1ogistic equation) ,式(2) 称为逻辑斯蒂曲线。[ 编辑] 逻辑斯蒂方程的基本性质 t=O 时, x(t) 的值为: ; (t) 的增长率, 因此, x(t) 是增函数; 值较大而 t 较小时, 将很大, , 于是 x(t) 近似于依指数函数增大,销售速度不断增大; 增大以后, 越来越接近于零, 分母越来越接近于 1, 销售速度开始下降, x(t) 的值接近于 a (饱和值)。[ 编辑] 逻辑斯蒂方程的应用 1 .人口限制增长问题人口的增长不是呈指数型增长的, 这是由于环境的限制、有限的资源和人为的影响, 最终人口的增长将减慢下来。实际上,人口增长规律满足逻辑斯蒂方程。 2. 信息传播问题所谓信息传播可以是一则新闻,一条谣言或市场上某种新商品有关的知识, 在初期,知道这一信息的人很少, 但是随时间的推移, 知道的人越来越多, 到一定时间, 。若以 t 表示从信息产生算起的时间, P 表示已知信息的人口比例,则逻辑斯蒂方程变为: ...................(3) 例如, 当某种商品调价的通知下达时,有 10 %的市民听到这一通知,2 小时以后, 25 %的市民知道了这一信息,由逻辑斯蒂方程可算出有 75 %的市民了解这一情况所需要的时间。在方程(3) 中,由 t=0 时, P=10 %可得 B= 9; 再由 t=2 时, P=25 %可得,。当 P=75 %时,有: 解得 t=6 ,即 6 小时后,全市有 75 %的人了解这一通知。 3. 商品销售预测问题例如, 某种商品的销售, 开始时, 知道的人很少, 销售量也很小。当这种商品信息传播出去后, 销售量大量增加, 到接近饱和时销售量增加极为缓慢。比如, 这种商品饱和量估计 a=500( 百万件) ,大约 5 年可达饱和,常数 b 经测定为 b=lnl0 , B=100 。下面我们来预测一下第 3 年末的销售量是多少。由,有:( 百万件) 所以第三年末的市场销售量大约为 百万件,这样可以做到有计划地生产。逻辑斯蒂方程的应用比较广泛。如果问题的基本数量特征是: 在时间 t 很小时