文档介绍：平面与平面垂直的判定
第1页，共14页，编辑于2022年，星期六
概念
直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线. 平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫半平面.
半平面
半平面
射线
射线
平面与平面垂直的判定
第1页，共14页，编辑于2022年，星期六
概念
直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线. 平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫半平面.
半平面
半平面
射线
射线
从一点出发的两条射线，构成平面角.
记作AOB
A
B
O
同样,，这两个半平面叫做二面角的面.
m
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二面角的图示
二面角的记法
（1）以直线 为棱，以
为半平面的二面角记为：
（2）以直线AB为棱，以
为半平面的二面角记为：
A
B
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思考1
两个相交平面有几个二面角？
如何刻画二面角的大小？
探究
l
α
β
O
A
B
l
α
β
O
A
B
二面角-l-
二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
平面角
∠AOB 即为二面角α-AB-β的
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注意：二面角的平面角必须满足：
（1）角的顶点在棱上.
（2）角的两边分别在两个面内.
（3）角的边都要垂直于二面角的棱.
二面角的取值范围
0度角
180度角
l
α
β
00~1800
直二面角：平面角是直角的二面角
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思考2:如果两个相交平面所成的四个二面角中，有一个是直二面角，那么其他三个二面角的大小如何？
思考3:如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直.
在你的周围或空间几何体中，有哪些实例反映出两个平面垂直？
α
β
记为
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思考4：在二面角α-l-β中，直线m在平面β内，如果m⊥α，那么二面角α-l-β是直二面角吗？
α
β
m
l
a
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平面与平面垂直的判定
α
β
a
A
b
α
β
a
A
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
面面垂直
线面垂直
线线垂直
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例1 如图，⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径， PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
P
A
B
C
O
证明:
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思考 如图，过二面角α-l-β一个面内一点A，作另一个面的垂线，垂足为B，过点B作棱的垂线，垂足为O，连结AO，则∠AOB是二面角的平面角吗？为什么？
A
B
O
l
α
β
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二面角的平面角的作法：
：
根据定义作出来.
：
作与棱垂直的平面与两半平面
的交线得到.
：
应用三垂线定理或其逆定理作
出来.
o
A
B
o
A
o
A
B
B
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，找出二面角C1-AB-C的平面角，并指出大小.
B
1
C
1
D
1
A
1
A
B
C
D
M
N
例3 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B1-AC-B的正切值.
A
A1
B
C
D
B1
C1
D1
O
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例4 如图所示，河堤斜面与水平面所成二面角为300，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为450 ，沿这条直道从堤脚C向上行走10m到达E处，此时人升高了多少m？
A
B
C
D
E
O
F
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小结
1. 知识小结
1）二面角及其平面角
2）两个平面互相垂直
2. 思想方法
面面垂