文档介绍：椭圆的两个不变量在解题中的应用
圆锥曲线中椭圆算是在考试中出现频率最高的圆锥曲线,而关于椭圆本身存在很多的不变量，下面我们来讨论椭圆的两个比较有趣的不变量，而且计算该不变量的方法和不变量本身都在题目相当的实用。
不变量：设椭圆方程为 ，椭圆的两个不变量在解题中的应用
圆锥曲线中椭圆算是在考试中出现频率最高的圆锥曲线,而关于椭圆本身存在很多的不变量，下面我们来讨论椭圆的两个比较有趣的不变量，而且计算该不变量的方法和不变量本身都在题目相当的实用。
不变量：设椭圆方程为 ，在椭圆上有两个动点，，为坐标原点，且满足，那么为定值，并且原点到直线的间隔 也是定值．（精品文档请下载）
证明：设，因为,不妨设向量逆时针旋转90度到向量这样的话我们有，设，,那么，的坐标分别是
,，，在椭圆上将坐标代入方程可得，即
，变形得
，两式相加得（定值）
原点到直线的间隔 =，根据可知
，即，两边开方得（定值）
其实这两个不变量可以看做是一个不变量，下面我们就来看看这两个不变量在解题中的精彩应用．
题目一：（2020陕西卷）如图，椭圆的顶点为 ,焦点为 ，
(Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设n是过原点的直线，是和n垂直相交于F点、和椭圆相交于A,B两点的直线，||=1，是否存在上述直线使成立？假设存在,求出直线的方程;假设不存在,请说明理由．（精品文档请下载）
解：
（I）
由知， ①
由知a=2c， ②
又 , ③
由①②③解得,
故椭圆C的方程为
（II）假设这样的直线存在,根据｜|=1，，可得
，这样由前面的“不变量”可知道因此假设不成立．
题目二：设椭圆方程为 ，在椭圆上有两个动点,,为坐标原点，且满足，过点作直线的垂线，交于点，求点的轨迹．（精品文档请下载）
解:这个题目我们当然可以设直线方程然后解交点，这样不免费事而且计算量大不划算，当我们掌握了上述的两个不变量后，我们很容易知道是一个定长,很自然的点的轨迹就是圆．（精品文档请下载）
题目三:椭圆 的左,右焦点分别为是椭圆上的一点，,原点到直线的间隔 为．
证明；
求使下面命题成立：设圆上任意点