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线性代数复习提纲
线性代数复习提纲
第一章行列式
本章重点是行列式的计算，对于n阶行列式的定用矩阵初等行变换求解线性方程组的方法。理解矩阵的秩的概念，并掌握用矩阵初等变换求矩阵的秩的方法。
理解非齐次线性方程组无解、有唯一解或无穷多解的充要条件和齐次线性方程组有非零解的充要条件。
1、定义
初等行变换：rirj;rik;rikj；
初等列变换：cicj;cik;cikcj；
初等变换：A:B,即A与B等价，秩相等。
2、矩阵的秩
(1) r。
A的最简形含r个非零行A的
矩阵A的最高阶非零子式的阶数r,称为矩阵A的秩，记作RA
RAr标准形F
Er
0
(3)
(a)
o
0mn
矩阵的秩的性质：
0RAmnminm,n。
(b)
RAtRA。
A:BRARB。
3、线性方程组理论
(1)n元非齐次线性方程组是RARA,b,当R一解;当RARA,b
Axb有解的充要条件
ARA,bn时有唯
n时有无穷多解；无解的
(c)
(b) 若p,q可逆，贝URPAQRA。
充要条件是RARA,b。
(2)n元齐次线性方程组Ax0有非零解的充要条件是RAn；只有零解的充要条件是RAno
(3)矩阵方程AXB有解的充要条件是RARA,B。
第四章向量组的线性相关性
在本章学习中，，要特别注意方程语言、矩阵语言、几何语言三者之间的转换，，突出的典型问题是对
bi,b2,...,bia1,a2,...,amKmi,(BAK)所作的解释：
矩阵语言：B是A与K的乘积矩阵；
方程语言：K是矩阵方程AXB的一个解；
几何语言：向量组B能由向量组A线性表示,K是这一表示的系数矩阵。
理解向量组线性组合以及一个向量(或向量组)能由一个向量组线性表示的概念，特别地，要熟悉这些概念和线性方程组的联系。理解向量组线性相关和线性无关的概念，并熟悉它们与齐次线性方程组的联系。理解向量组的最大无关组和向量组的秩的概念，会用矩阵的初等变换求向量组的最大无关组和秩。
本章的另一个重点是理解齐次线性方程组的基础解系的概念，并能熟练地求出基础解系，理解齐次与非齐次线性方程组通解的构造。
1、n维向量、向量组
n个有次序的数ai,a2,L,an构成的有序数组称为n维向量，记作a2Ta…，aai,a2,...,an
Mana与a「分别称为列向量和行向量，也就是列矩阵和行矩阵。
若干个同维数的列(行)向量所组成的集合叫做向量组。含有有限个向量的向量组可以构成一个矩阵。
2、线性组合与线性表示
(1) 向量b能由向量组A:a1,a2,...,am线性表示
方程组x1a1x2a2...xmambAxb有解
Rai,a2,...,amRai,a2,...,am,b(定理1)
向量组B:bi,b2,...,b|能由向量组A:ai,a2,...,am线性表示矩阵方程ai,a2,...,amXbi,b2,...,b|AXB有解RARA,B（定理2）
（3）向量组A与向量组B等价（能相互线性表示）RARBRA,B
（4）若向量组B能由向量组A线性表示，则RBRA。（定理3）3、线性相关与线性无关向量组A:a1,a2,...,am线性相关齐次线性方程组xiaiX2a2...Xmam0Ax0有非零解
Ra1,a2,...,amm（定理4）向量组a,a2,...,amm2线性相关的充要条件是存在某个向量a1jm,它能由其它m1个向量线性表示。
4、向量组线性相关性的重要结论
（1）向量组a1,a2,...,as线性相关，则向量组a1,a2,...,as,as1,...斗也线性相关。（定理5-1）
（2）m个n维向量组成的向量组，当mn,即个数大于维数时一定线性相关。（定理5-2）
（3）设向量组A:a1,a2,...,am线性无关，而向量组a1,a2,...,am,b线性相关，，则向量b必能由向量组A线性表小，且表小式是唯一的。(定理5-3)5、向量组的最大无关组与向量组的秩
(1)定义：如果在向量组中能选出r个向量a1,a2,...,ar,满足
(a) 向量组Ao:a1,a2,...,ar线性无关；
(b) 向量组A中任意r1个向量都线性相关，那么
称向量组Ao是向量组A的一个最大无关组；最大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩，记作Ra。只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0。
(c) 上述条件(b)可改为：向量组A中任一向量都能由向量组气线性表示。
(2)只含有限个向量的向量组A:a1,